Dado que a velocidade de uma partícula em movimento retilíneo varia com o deslocamento x de acordo com a equação dotx=b x^-3 onde b é uma constante positiva, encontre a força atuando na partícula como uma função de x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de movimento retilíneo onde a velocidade da partícula varia com o deslocamento de acordo com a equação , onde é uma constante positiva. O que precisamos encontrar é a força que está agindo na partícula em função de . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade dotx = b x^-3 é a derivada do deslocamento em relação ao tempo. A equação dada é:
v = b x^-3
Podemos reescrever isso como:
onde é a velocidade.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a aceleração a = dvdt da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
dvdt = dvdx cdot dxdt = dvdx cdot v
Mas como está em função de , podemos usar a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular v = b x^-3 . A velocidade é:
dvdx = -3b x^-4
Derivando em relação a :

Passo 5

Substituímos a = (-3b x^-4) cdot (b x^-3) = -3b^2 x^-7 e na expressão da aceleração:

Passo 6

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a força F = m a = m (-3b^2 x^-7) = -3m b^2 x^-7 é igual à massa vezes a aceleração :

Resposta

A força atuando na partícula em função de F(x) = -3m b^2 x^-7 é:

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