O poste é feito de madeira Douglas fir e tem diâmetro de 100 mm . Determine a força
necessária na parte inferior para o equilíbrio, se o poste estiver sujeito a uma carga de 20 kN e o solo proporcionar uma resistência de atrito distribuída que varia linearmente de
em
em
ao longo do seu comprimento. Além disso, qual é o deslocamento do topo
do poste em relação à sua parte inferior
? Ignore o peso do poste.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um poste de madeira com diâmetro de 100 mm. Queremos descobrir qual força
precisamos aplicar na base do poste para que ele fique em equilíbrio quando uma carga de 20 kN está agindo sobre ele. Além disso, o solo oferece uma resistência de atrito que varia ao longo do comprimento do poste, e precisamos calcular também o deslocamento do topo do poste em relação à base. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e resistência dos materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a resistência do atrito fornecida pelo solo. A resistência varia linearmente de
em
até
em
. Isso significa que a resistência ao longo do comprimento do poste não é constante, mas aumenta de forma linear.
Passo 3
Vamos modelar a resistência ao atrito
como uma função linear. Para isso, usamos a equação da reta:
Sabemos que:
- Em
, , então . - Em
, , então:
Portanto, a função da resistência ao atrito é:
Passo 4
Agora, para encontrar a força total de atrito
ao longo do comprimento do poste (2 metros), integramos
de 0 a 2:
Calculando a integral:
Passo 5
Para que o poste esteja em equilíbrio, a soma das forças horizontais deve ser zero. Temos a força aplicada
na base e a força de atrito
:
Portanto, a força necessária na base é de 16 kN.
Passo 6
Agora, vamos calcular o deslocamento do topo do poste em relação à base. Para isso, precisamos conhecer a rigidez do poste, ou seja, como ele se deforma sob a ação das forças. Porém, o enunciado pede para ignorar o peso do poste, então consideramos apenas a carga aplicada e a resistência do atrito.
Assumindo que o poste se comporta como uma viga simples sujeita a uma carga, o deslocamento pode ser calculado usando fórmulas de flexão. No entanto, como não foram fornecidos dados adicionais como o módulo de elasticidade da madeira ou a seção transversal, não é possível calcular numericamente o deslocamento. Portanto, a resposta será em termos das variáveis fornecidas.
Resposta
A força necessária na base do poste para o equilíbrio é de 16 kN. O deslocamento do topo em relação à base não pode ser calculado com as informações fornecidas.