O estado de tensão plana num ponto é dado por: sigmax=100 kN / m^2, sigmay=500 kN / m^2 e taux y=200 kN / m^2. Determine o estado de deformação no mesmo ponto. Determine as deformações principais e as respectivas direções. Adote: E = 1 0 cdot 1 0 ^ 6 k N / m^2 e nu = 0 , 2. Utilizar o Círculo de Mohr.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um estado de tensão planar em um ponto específico, com valores de sigmax=100 , kN/m^2, sigmay=500 , kN/m^2 e tauxy=200 , kN/m^2. Precisamos determinar o estado de deformação nesse ponto, calcular as deformações principais e suas respectivas direções, utilizando o Círculo de Mohr. Para isso, vamos usar os conceitos de tensão e deformação em materiais, aplicando a Lei de Hooke para relação entre essas grandezas.

Passo 2

Vamos começar calculando as deformações normais e de cisalhamento a partir das tensões fornecidas. Para isso, usamos a Lei de Hooke para tensão plana:
varepsilonx = 1E ( sigmax - nu sigmay ) varepsilony = 1E ( sigmay - nu sigmax ) gammaxy = tauxyG
onde E é o módulo de elasticidade, nu é o coeficiente de Poisson e G é o módulo de cisalhamento. Sabemos que G = E2(1+nu).

Passo 3

Calculando o módulo de cisalhamento G:
G = 1.0 times 10^62(1 + 0.2) = 1.0 times 10^62.4 approx 416666.67 , kN/m^2

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das deformações:
varepsilonx = 100 - 0.2 times 5001.0 times 10^6 = 100 - 1001.0 times 10^6 = 0
varepsilony = 500 - 0.2 times 1001.0 times 10^6 = 500 - 201.0 times 10^6 = 4801.0 times 10^6 = 4.8 times 10^-4
gammaxy = 200416666.67 approx 4.8 times 10^-4

Passo 5

Agora que temos o estado de deformação, vamos determinar as deformações principais e suas direções. Para isso, utilizamos o Círculo de Mohr, que nos auxilia a encontrar as deformações máximas e mínimas (deformações principais) e os ângulos em que ocorrem.
As deformações principais varepsilon1 e varepsilon2 podem ser calculadas pelas fórmulas:
varepsilonm = varepsilonx + varepsilony2 = 0 + 4.8 times 10^-42 = 2.4 times 10^-4
R = raiz( varepsilonx - varepsilony2 )^2 + ( gammaxy2 )^2 = raiz( 0 - 4.8 times 10^-42 )^2 + ( 4.8 times 10^-42 )^2 = raiz( -2.4 times 10^-4)^2 + (2.4 times 10^-4)^2 = raiz2.88 times 10^-8 + 2.88 times 10^-8 = raiz5.76 times 10^-8 approx 7.6 times 10^-4
Então, as deformações principais são:
varepsilon1 = varepsilonm + R = 2.4 times 10^-4 + 7.6 times 10^-4 = 1.0 times 10^-3
varepsilon2 = varepsilonm - R = 2.4 times 10^-4 - 7.6 times 10^-4 = -5.2 times 10^-4

Passo 6

Para encontrar as direções das deformações principais, precisamos determinar o ângulo thetap que a direção principal forma com o eixo x. Usamos a seguinte relação:
tan(2thetap) = gammaxyvarepsilonx - varepsilony = 4.8 times 10^-40 - 4.8 times 10^-4 = -1
Assim,
2thetap = arctan(-1) = -45^circ Rightarrow thetap = -22.5^circ
Isso significa que uma das direções principais está inclinada 22.5^circ abaixo do eixo x, e a outra estará 22.5^circ acima do eixo x.

Resposta

O estado de deformação no ponto é:
varepsilonx = 0 , mm/m, varepsilony = 4.8 times 10^-4 , mm/m, gammaxy = 4.8 times 10^-4 , mm/m
As deformações principais são:
varepsilon1 = 1.0 times 10^-3 , mm/m na direção de -22.5^circ çã
varepsilon2 = -5.2 times 10^-4 , mm/m na direção de +22.5^circ çã

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