Uma partícula de massa m é restringida a se mover em um plano horizontal sem atrito, sujeita a uma força dada pela expressão F(x)=-k x. Ela é projetada de x=0 para a direita ao longo da direção positiva de x com uma energia cinética inicial T0=12 k A k e A são constantes positivas. Encontre:
(a) A função de energia potencial V(x) para essa força;
(b) A energia cinética;
© A energia total da partícula como uma função de sua posição;
(d) Encontre os pontos de retorno do movimento;
(e) Esboce as funções de energia potencial, cinética e total.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa que se move num plano horizontal sem atrito, sujeita a uma força . A partícula é lançada de para a direita com uma energia cinética inicial (parece que há um detalhe aqui, mas vamos seguir com isso). Vamos precisar entender de forças, energia potencial, energia cinética e conservação de energia para resolver as partes (a) a (e) do exercício.

Passo 2

a) A função de energia potencial F(x) = -dVdx para essa força
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial -k x = -dVdx está relacionada à força pela relação:
dVdx = k x
Neste caso, a força é V(x) = integral k x , dx = 12 k x^2 + C , então:
V(x) = 12 k x^2
Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
A constante de integração geralmente é escolhida para que , então:

Passo 3

b) A energia cinética
A energia cinética T = 12 m v^2 de uma partícula em movimento é dada por:
E = T + V(x)
Mas como estamos relacionando com a energia potencial e total, podemos reescrever a energia cinética usando a conservação de energia. A energia total E = T0 é a soma da energia cinética e da energia potencial:
T = E - V(x) = T0 - 12 k x^2
A energia total inicialmente é . Como , temos:
Então, a energia cinética em qualquer posição é:

Passo 4

c) A energia total da partícula como uma função de sua posição
Já vimos que a energia total E = T0 é constante e igual a E(x) = T(x) + V(x) = ( T0 - 12 k x^2 ) + 12 k x^2 = T0 :
Mas se quisermos expressar em termos de , considerando a variação da energia cinética e potencial:
Então, a energia total é constante e igual a para qualquer posição .

Passo 5

d) Encontre os pontos de retorno do movimento
Os pontos de retorno ocorrem quando a velocidade da partícula é zero, ou seja, quando toda a energia está na forma de energia potencial:
T = 0
T0 - 12 k x^2 = 0
12 k x^2 = T0
x^2 = 2 T0k
x = pm raiz2 T0k
Então, os pontos de retorno são e .

Passo 6

e) Esboce as funções de energia potencial, cinética e total
Vamos descrever como esses gráficos seriam:
  • Energia Potencial : É uma parábola que abre para cima, passando pela origem. Quanto mais longe de , maior a energia potencial.
  • Energia Cinética : É uma parábola que abre para baixo, atingindo seu valor máximo em e reduzindo até zero nos pontos de retorno.
  • Energia Total : É uma linha horizontal constante, indicando que a energia total permanece sempre a mesma durante todo o movimento.

Resposta

(a) A energia potencial é .
(b) A energia cinética é .
© A energia total da partícula é constante e igual a .
(d) Os pontos de retorno do movimento estão em .
(e) Os gráficos das funções são:
  • : uma parábola para cima.
  • : uma parábola para baixo.
  • : uma linha horizontal constante.

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