Uma partícula de massa
é restringida a se mover em um plano horizontal sem atrito, sujeita a uma força dada pela expressão
. Ela é projetada de
para a direita ao longo da direção positiva de
com uma energia cinética inicial
são constantes positivas. Encontre:
(a) A função de energia potencial
para essa força;
(b) A energia cinética;
© A energia total da partícula como uma função de sua posição;
(d) Encontre os pontos de retorno do movimento;
(e) Esboce as funções de energia potencial, cinética e total.
(a) A função de energia potencial
(b) A energia cinética;
© A energia total da partícula como uma função de sua posição;
(d) Encontre os pontos de retorno do movimento;
(e) Esboce as funções de energia potencial, cinética e total.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa
que se move num plano horizontal sem atrito, sujeita a uma força
. A partícula é lançada de
para a direita com uma energia cinética inicial
(parece que há um detalhe aqui, mas vamos seguir com isso). Vamos precisar entender de forças, energia potencial, energia cinética e conservação de energia para resolver as partes (a) a (e) do exercício.
Passo 2
a) A função de energia potencial
para essa força
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial
está relacionada à força pela relação:
Neste caso, a força é
, então:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
A constante de integração
geralmente é escolhida para que
, então:
Passo 3
b) A energia cinética
A energia cinética
de uma partícula em movimento é dada por:
Mas como estamos relacionando com a energia potencial e total, podemos reescrever a energia cinética usando a conservação de energia. A energia total
é a soma da energia cinética e da energia potencial:
A energia total inicialmente é
. Como
, temos:
Então, a energia cinética em qualquer posição
é:
Passo 4
c) A energia total da partícula como uma função de sua posição
Já vimos que a energia total
é constante e igual a
:
Mas se quisermos expressar
em termos de
, considerando a variação da energia cinética e potencial:
Então, a energia total é constante e igual a
para qualquer posição
.
Passo 5
d) Encontre os pontos de retorno do movimento
Os pontos de retorno ocorrem quando a velocidade da partícula é zero, ou seja, quando toda a energia está na forma de energia potencial:
Então, os pontos de retorno são
e
.
Passo 6
e) Esboce as funções de energia potencial, cinética e total
Vamos descrever como esses gráficos seriam:
-
Energia Potencial
: É uma parábola que abre para cima, passando pela origem. Quanto mais longe de , maior a energia potencial. -
Energia Cinética
: É uma parábola que abre para baixo, atingindo seu valor máximo em e reduzindo até zero nos pontos de retorno. -
Energia Total
: É uma linha horizontal constante, indicando que a energia total permanece sempre a mesma durante todo o movimento.
Resposta
(a) A energia potencial é
.
(b) A energia cinética é
.
© A energia total da partícula é constante e igual a
.
(d) Os pontos de retorno do movimento estão em
.
(e) Os gráficos das funções são:
-
: uma parábola para cima. -
: uma parábola para baixo. -
: uma linha horizontal constante.
Exercícios relacionados
O poste é feito de madeira Douglas fir e tem diâmetro de 100 mm . Determine a força
necessária na parte inferior para o equilíbrio, se o poste estiver sujeito a uma carga de 20 kN e o solo proporcionar uma resistência de atrito distribuída que varia linearmente de
em
em
ao longo do seu comprimento. Além disso, qual é o deslocamento do topo
do poste em relação à sua parte inferior
? Ignore o peso do poste.
A força atuando em uma partícula de massa
é dada por
em que
é uma constante positiva. A partícula passa pela origem com velocidade
no instante
. Encontre
como uma função do tempo
.
Dado: A amplitude de um oscilador harmônico amortecido cai para
do seu valor inicial após
ciclos completos. Mostre que a razão entre o período da oscilação e o período do mesmo oscilador sem amortecimento é dada por:
onde a aproximação na última expressão é válida se
for grande.
Dado que a velocidade de uma partícula em movimento retilíneo varia com o deslocamento
de acordo com a equação
onde
é uma constante positiva, encontre a força atuando na partícula como uma função de
.