Dado b=(1,2,1), determine a tal que a é ortogonal ao eixo z e
a times b=(1,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é o seguinte: temos o vetor b = (1, 2, 1) e queremos encontrar um vetor a que seja ortogonal ao eixo z (ou seja, não tem componente na direção do z) e que o produto vetorial de a com b seja igual a (1, -1, 1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre produtos vetoriais e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a é ortogonal ao eixo z. Isso quer dizer que a componente z de a é zero. Então, podemos escrever a como (ax, ay, 0).

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b. Lembrando que, para dois vetores a = (ax, ay, az) e b = (bx, by, bz), o produto vetorial é dado por:
a times b = ( ay bz - az by, az bx - ax bz, ax by - ay bx )
Como a = (ax, ay, 0) e b = (1, 2, 1), substituindo na fórmula:
a times b = (ay cdot 1 - 0 cdot 2, 0 cdot 1 - ax cdot 1, ax cdot 2 - ay cdot 1) = (ay, -ax, 2ax - ay)

Passo 4

Sabemos que a times b = (1, -1, 1). Portanto, podemos igualar as componentes:
  1. ay = 1
  2. -ax = -1
  3. 2ax - ay = 1

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. Da primeira equação: ay = 1
  2. Da segunda equação: -ax = -1 então ax = 1
  3. Verificando a terceira equação com os valores encontrados:
    2(1) - 1 = 2 - 1 = 1, que confirma que está correto.

Resposta

O vetor a é (1, 1, 0).

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