Sejam A=(a1, a2) e B=(b1, b2) pontos distintos do plano. Mostre que os pontos P1, P2, ldots, Pn-1, dados por
A Pk=kn A B, n in1,2, ldots, n-1
divide o segmento A B em n segmentos de igual comprimento.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria que envolve pontos no plano. Temos dois pontos distintos, e . Precisamos mostrar que os pontos , definidos por para , dividem o segmento em partes de igual comprimento. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores e proporção na geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa AB = (b1 - a1, b2 - a2) . Esse vetor vai do ponto até o ponto e é calculado subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, cada ponto é definido por . Isso significa que o vetor que vai de até é uma fração do vetor .

Passo 4

Vamos encontrar as coordenadas de APk = Pk - A . Sabemos que:
Pk - A = kn AB = kn (b1 - a1, b2 - a2)
Substituindo, temos:
Pk = A + kn AB
Portanto:
Pk = ( a1 + kn (b1 - a1), a2 + kn (b2 - a2) )

Passo 5

Para mostrar que os segmentos entre PkPk-1 = Pk - Pk-1 e PkPk-1 = ( a1 + kn(b1 - a1) - ( a1 + k-1n(b1 - a1) ), a2 + kn(b2 - a2) - ( a2 + k-1n(b2 - a2) ) ) têm o mesmo comprimento, vamos calcular a distância entre dois pontos consecutivos:
PkPk-1 = ( 1n(b1 - a1), 1n(b2 - a2) ) = 1n AB
Substituindo as expressões de e :
Simplificando:

Passo 6

A distância entre |PkPk-1| = | 1n AB | = 1n |AB| e é a magnitude de :
Isso mostra que cada segmento entre pontos consecutivos tem comprimento igual a , ou seja, todos são iguais.

Resposta

Os pontos dividem o segmento em segmentos de igual comprimento, cada um com comprimento igual a .

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