Verifique que os vetores u e v não são múltiplos um do outro e escreva o vetor w como combinação linear de u e v, onde:
a) u=(1,1), v=(1,2) e w=(5,6)
b) u=(2,0), v=(2,2) e w=(0,1)
c) u=(-2,1), v=(1,2) e w=(2,2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se os vetores u e v não são múltiplos um do outro e, em seguida, expressar o vetor w como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e independência de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores u e v são múltiplos um do outro. Dois vetores são múltiplos se um é igual a uma constante vezes o outro. Isso significa que existe um número k tal que u = k v.

Passo 3

Vamos analisar cada parte do exercício:

a) u=(1,1), v=(1,2) e w=(5,6)

Vamos verificar se u e v são múltiplos:
Procuramos k tal que (1,1) = k(1,2).
Isso resulta nas equações:
1 = k cdot 1 e 1 = k cdot 2
Da primeira equação, k = 1. Substituindo na segunda, 1 = 2, o que não é verdadeiro. Portanto, u e v não são múltiplos.

Passo 4

Agora, vamos escrever w=(5,6) como uma combinação linear de u e v:
w = au + bv
Substituindo os valores:
(5,6) = a(1,1) + b(1,2)
Isso resulta no sistema de equações:
a + b = 5 a + 2b = 6

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Subtraia a primeira equação da segunda:
(a + 2b) - (a + b) = 6 - 5 implies b = 1
Substitua b = 1 na primeira equação:
a + 1 = 5 implies a = 4

Passo 6

Portanto, a combinação linear é:
w = 4u + 1v

Passo 7

b) u=(2,0), v=(2,2) e w=(0,1)

Primeiro, verificamos se u e v são múltiplos:
Procuramos k tal que (2,0) = k(2,2).
Isso resulta em:
2 = 2k e 0 = 2k
Da primeira equação, k = 1. Substituindo na segunda, 0 = 2, o que não é verdadeiro. Portanto, u e v não são múltiplos.

Passo 8

Agora, escrevemos w=(0,1) como combinação linear:
(0,1) = a(2,0) + b(2,2)
Isso resulta no sistema:
2a + 2b = 0 0a + 2b = 1

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
2b = 1 implies b = 12
Substitua b = 12 na primeira equação:
2a + 2(12) = 0 implies 2a + 1 = 0 implies a = -12

Passo 10

Portanto, a combinação linear é:
w = -12u + 12v

Passo 11

c) u=(-2,1), v=(1,2) e w=(2,2)

Primeiro, verificamos se u e v são múltiplos:
Procuramos k tal que (-2,1) = k(1,2).
Isso resulta em:
-2 = k cdot 1 e 1 = k cdot 2
Da primeira equação, k = -2. Substituindo na segunda, 1 = -4, o que não é verdadeiro. Portanto, u e v não são múltiplos.

Passo 12

Agora, escrevemos w=(2,2) como combinação linear:
(2,2) = a(-2,1) + b(1,2)
Isso resulta no sistema:
-2a + b = 2 a + 2b = 2

Passo 13

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
b = 2 + 2a
Substitua na segunda equação:
a + 2(2 + 2a) = 2 implies a + 4 + 4a = 2 implies 5a = -2 implies a = -25
Substitua a = -25 na expressão de b:
b = 2 + 2(-25) = 2 - 45 = 105 - 45 = 65

Passo 14

Portanto, a combinação linear é:
w = -25u + 65v

Resposta

a) w = 4u + 1v
b) w = -12u + 12v
c) w = -25u + 65v

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