Verifique que os vetores
e
não são múltiplos um do outro e escreva o vetor
como combinação linear de
e
, onde:
a)
e
b)
e
c)
e
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se os vetores
e
não são múltiplos um do outro e, em seguida, expressar o vetor
como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e independência de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores
e
são múltiplos um do outro. Dois vetores são múltiplos se um é igual a uma constante vezes o outro. Isso significa que existe um número
tal que
.
Passo 3
Vamos analisar cada parte do exercício:
a)
,
e
Vamos verificar se
e
são múltiplos:
Procuramos
tal que
.
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda,
, o que não é verdadeiro. Portanto,
e
não são múltiplos.
Passo 4
Agora, vamos escrever
como uma combinação linear de
e
:
Substituindo os valores:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Subtraia a primeira equação da segunda:
Substitua
na primeira equação:
Passo 6
Portanto, a combinação linear é:
Passo 7
b)
,
e
Primeiro, verificamos se
e
são múltiplos:
Procuramos tal que
.
Procuramos
Isso resulta em:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda,
, o que não é verdadeiro. Portanto,
e
não são múltiplos.
Passo 8
Agora, escrevemos
como combinação linear:
Isso resulta no sistema:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substitua
na primeira equação:
Passo 10
Portanto, a combinação linear é:
Passo 11
c)
,
e
Primeiro, verificamos se
e
são múltiplos:
Procuramos tal que
.
Procuramos
Isso resulta em:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda,
, o que não é verdadeiro. Portanto,
e
não são múltiplos.
Passo 12
Agora, escrevemos
como combinação linear:
Isso resulta no sistema:
Passo 13
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substitua na segunda equação:
Substitua
na expressão de
:
Passo 14
Portanto, a combinação linear é:
Resposta
a)
b)
c)