Prove que u cdot(u times v)=v cdot(u times v)= 0 de dois modos: primeiro calculando diretamente e segundo utilizando as propriedades de u times v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o produto escalar u cdot (u times v) e v cdot (u times v) são iguais a zero. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e produto vetorial, e veremos duas maneiras de chegar nessa conclusão: calculando diretamente e usando propriedades dos vetores.

Passo 2

Primeira maneira: Calculando diretamente. Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial u times v. Se u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), então:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )

Passo 3

Agora, vamos calcular u cdot (u times v). O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Aplicando isso:
u cdot (u times v) = u1 (u2 v3 - u3 v2) + u2 (u3 v1 - u1 v3) + u3 (u1 v2 - u2 v1)

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
= u1 u2 v3 - u1 u3 v2 + u2 u3 v1 - u1 u2 v3 + u3 u1 v2 - u2 u3 v1
Observa que cada termo cancela com outro:
u1 u2 v3 - u1 u2 v3 = 0
-u1 u3 v2 + u3 u1 v2 = 0
u2 u3 v1 - u2 u3 v1 = 0
Então, u cdot (u times v) = 0.

Passo 5

Segunda maneira: Usando propriedades do produto vetorial. Uma propriedade importante do produto vetorial é que o vetor resultante u times v é perpendicular tanto a u quanto a v.

Passo 6

Sabendo disso, o produto escalar entre vetores perpendiculares é sempre zero, já que:
a cdot b = |a| |b| cos(theta)
E se theta = 90^circ, então cos(90^circ) = 0, logo a cdot b = 0.

Resposta

Portanto, provamos que u cdot (u times v) = v cdot (u times v) = 0 utilizando dois métodos diferentes.

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