Prove que
0 de dois modos: primeiro calculando diretamente e segundo utilizando as propriedades de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o produto escalar
e
são iguais a zero. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e produto vetorial, e veremos duas maneiras de chegar nessa conclusão: calculando diretamente e usando propriedades dos vetores.
Passo 2
Primeira maneira: Calculando diretamente. Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial
. Se
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Observa que cada termo cancela com outro:
Então,
.
Passo 5
Segunda maneira: Usando propriedades do produto vetorial. Uma propriedade importante do produto vetorial é que o vetor resultante
é perpendicular tanto a
quanto a
.
Passo 6
Sabendo disso, o produto escalar entre vetores perpendiculares é sempre zero, já que:
E se
, então
, logo
.
Resposta
Portanto, provamos que
utilizando dois métodos diferentes.