Dado uma barra delgada uniforme de massa M e comprimento L, determine:
(b) O seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto 0 , situado na extremidade esquerda da barra;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o momento de inércia de uma barra delgada uniforme em relação a um eixo na extremidade esquerda. Isso envolve conceitos de física ligados à distribuição de massa e como ela afeta a rotação. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula do momento de inércia para uma barra e aplicar a integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia I = integral0^L x^2 , dm mede como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma barra delgada de comprimento e massa , a fórmula geral do momento de inércia em relação a um eixo perpendicular na extremidade é:
Aqui, é a distância de um pequeno elemento de massa ao eixo de rotação.

Passo 3

Sabemos que a barra é uniforme, então a densidade de massa linear lambda = ML é constante e dada por:
Isso significa que um pequeno segmento da barra tem massa .

Passo 4

Agora, substituímos I = integral0^L x^2 ( ML ) dx = ML integral0^L x^2 , dx na integral do momento de inércia:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral0^L x^2 , dx = [ x^33 ]0^L = L^33

Passo 6

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão de I = ML cdot L^33 = M L^23 :

Resposta

O momento de inércia da barra em relação ao eixo na extremidade esquerda é:
I = 13 M L^2

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