Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa
e raio
. Você mantém presa a extremidade do fio enquanto o cilindro é liberado sem velocidade inicial. O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata à medida que o cilindro cai e gira. Dado que o momento de inércia do cilindro em relação a um eixo que passa pelo centro de massa é
, use considerações de energia para achar a velocidade
do centro de massa do cilindro sólido depois que ele cain até uma distância H;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ioiô primitivo feito com um fio enrolado em um cilindro de massa
e raio
. Quando você solta o ioiô, ele começa a cair enquanto gira. Queremos descobrir quão rápido o centro de massa do cilindro está se movendo depois de cair uma altura
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia, especificamente a conservação de energia, e algumas fórmulas de dinâmica rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas energias envolvidas. No começo, o ioiô está parado, então a energia cinética é zero. Quando ele cai, a energia potencial gravitacional que ele perde se transforma em dois tipos de energia cinética:
- Energia cinética de transllação: relacionada ao movimento do centro de massa do cilindro.
- Energia cinética de rotação: relacionada à rotação do cilindro.
Passo 3
A energia potencial gravitacional perdida quando o ioiô cai uma altura
é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Agora, vamos expressar as duas formas de energia cinética:
- Translação:
onde
é a velocidade do centro de massa.
2. Rotação:
2. Rotação:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 5
Sabemos que o fio não desliza nem se estica, então a velocidade linear do centro de massa está relacionada à velocidade angular por:
Dessa forma, podemos substituir
por
na fórmula da energia cinética de rotação.
Passo 6
Substituindo
na energia cinética de rotação:
Aqui usamos o momento de inércia dado
.
Passo 7
Agora, aplicando a conservação de energia:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 8
Somando as energias cinéticas:
Passo 9
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A velocidade do centro de massa do cilindro depois de cair uma altura
é: