Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa m e raio R. Você mantém presa a extremidade do fio enquanto o cilindro é liberado sem velocidade inicial. O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata à medida que o cilindro cai e gira. Dado que o momento de inércia do cilindro em relação a um eixo que passa pelo centro de massa é I=1 / 2 W R^2, use considerações de energia para achar a velocidade Vc m do centro de massa do cilindro sólido depois que ele cain até uma distância H;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ioiô primitivo feito com um fio enrolado em um cilindro de massa m e raio R. Quando você solta o ioiô, ele começa a cair enquanto gira. Queremos descobrir quão rápido o centro de massa do cilindro está se movendo depois de cair uma altura H. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia, especificamente a conservação de energia, e algumas fórmulas de dinâmica rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas energias envolvidas. No começo, o ioiô está parado, então a energia cinética é zero. Quando ele cai, a energia potencial gravitacional que ele perde se transforma em dois tipos de energia cinética:
  1. Energia cinética de transllação: relacionada ao movimento do centro de massa do cilindro.
  2. Energia cinética de rotação: relacionada à rotação do cilindro.

Passo 3

A energia potencial gravitacional perdida quando o ioiô cai uma altura H é dada por:
Epot = m cdot g cdot H
onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Agora, vamos expressar as duas formas de energia cinética:
  1. Translação:
Ecin, trans = 12 m Vcm^2
onde Vcm é a velocidade do centro de massa.
2. Rotação:
Ecin, rot = 12 I omega^2
onde I é o momento de inércia e omega é a velocidade angular.

Passo 5

Sabemos que o fio não desliza nem se estica, então a velocidade linear do centro de massa está relacionada à velocidade angular por:
Vcm = omega cdot R
Dessa forma, podemos substituir omega por VcmR na fórmula da energia cinética de rotação.

Passo 6

Substituindo omega na energia cinética de rotação:
Ecin, rot = 12 I ( VcmR )^2 = 12 cdot 12 m R^2 cdot Vcm^2R^2 = 14 m Vcm^2
Aqui usamos o momento de inércia dado I = 12 m R^2.

Passo 7

Agora, aplicando a conservação de energia:
Epot = Ecin, trans + Ecin, rot
Substituindo as expressões que encontramos:
m cdot g cdot H = 12 m Vcm^2 + 14 m Vcm^2

Passo 8

Somando as energias cinéticas:
m cdot g cdot H = ( 12 + 14 ) m Vcm^2 = 34 m Vcm^2

Passo 9

Agora, vamos isolar Vcm:
34 m Vcm^2 = m cdot g cdot H
Dividindo ambos os lados por 34 m:
Vcm^2 = 43 g H

Resposta

A velocidade do centro de massa do cilindro depois de cair uma altura H é:
Vcm = raiz43 , g , H

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