Um engenheiro está projetando uma peça de uma certa máquina que consiste em três conectores pesados ligados por suportes leves (Figura ao lado). Os conectores podem ser considerados como partículas pesadas conectadas por hastes com massas desprezíveis. Responda:
© Se o corpo gira com velocidade angular omega=4,0 rad / s, em torno de um eixo perpendicular ao plano do desenho e que passa por A, qual é sua energia cinética?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma peça de uma máquina com três conectores pesados ligados por suportes leves. Queremos descobrir a energia cinética desse sistema quando ele está girando com uma velocidade angular de omega = 4,0 , rad/s em torno de um eixo que passa pelo ponto A e é perpendicular ao plano do desenho.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de energia cinética de rotação e como calcular o momento de inércia para o sistema de partículas. A energia cinética de rotação nos mostra quanta energia um objeto possui devido ao seu movimento giratório.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da energia cinética de rotação. Ela é dada por:
K = 12 I omega^2
Onde:
  • é a energia cinética de rotação.
  • é o momento de inércia do sistema.
  • é a velocidade angular.
Nosso objetivo é encontrar , então precisamos calcular o momento de inércia do sistema.

Passo 3

O momento de inércia ( I = sum mi ri^2 ) é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para partículas pontuais, ele é calculado pela soma dos produtos das massas pela distância ao quadrado até o eixo de rotação:
Onde:
  • é a massa de cada partícula.
  • é a distância de cada partícula ao eixo de rotação.

Passo 4

Como temos três conectores pesados, vamos considerar cada um deles como uma partícula com massa I = m r1^2 + m r2^2 + m r3^2 localizada a uma distância do ponto A. Assim, o momento de inércia total será:
Se os conectores estiverem a distâncias diferentes de A, devemos usar cada correspondente. Caso as distâncias sejam iguais, simplificamos a expressão.

Passo 5

Após calcular o momento de inércia K = 12 I omega^2 , substituímos os valores na fórmula da energia cinética de rotação:
Com , é só fazer as contas para encontrar .

Resposta

A energia cinética do sistema é dada por . Substituindo os valores dos momentos de inércia e da velocidade angular, calculamos e encontramos a energia cinética do corpo em rotação.

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