Uma pequena esfera de massa
, raio
e momento de inércia
é largada do repouso no ponto
e rola sem deslizar ao longo de um trilho
(Figura a lado). O trecho
é um plano inclinado de ângulo
e altura
e o trecho
é um plano horizontal. Utilizando conceitos de conservação de energia,
(b) Calcule as energias cinéticas de translação e rotação no ponto C;
(b) Calcule as energias cinéticas de translação e rotação no ponto C;
Passo 1
Beleza, vamos resumir a questão! Temos uma esfera pequena com massa
e raio
que rola sem deslizar por um trilho que tem um plano inclinado com ângulo de
e altura de
. A esfera começa do repouso no ponto
e chega ao ponto
, que está no plano horizontal. Vamos usar o conceito de conservação de energia para calcular as energias cinéticas de translação e rotação no ponto
. Para isso, vamos precisar saber como a energia potencial se transforma em energia cinética durante o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional no ponto
é dada por:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Aqui, toda essa energia potencial será convertida em energia cinética de translação e rotação no ponto
.
Passo 3
As energias cinéticas que vamos considerar são:
- Energia cinética de translação:
- Energia cinética de rotação:
onde:
-
é o momento de inércia da esfera, -
é a velocidade angular.
Como a esfera rola sem deslizar, temos a relação entre a velocidade linear
e a angular
:
Passo 4
Sabemos que o momento de inércia para uma esfera sólida é:
Substituindo
na expressão da energia cinética de rotação:
Passo 5
Agora, aplicando a conservação da energia. A energia total no ponto
(energia potencial) deve ser igual à soma das energias cinéticas no ponto
:
Somando as parcelas de
:
Passo 6
Podemos simplificar para encontrar a velocidade
no ponto
:
Agora, substituindo os valores:
Passo 7
Com a velocidade encontrada, calculamos as energias cinéticas:
- Energia cinética de translação:
- Energia cinética de rotação:
Resposta
No ponto
, a energia cinética de translação é aproximadamente
e a energia cinética de rotação é aproximadamente
.
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Uma pequena esfera de massa
, raio
e momento de inércia
é largada do repouso no ponto
e rola sem deslizar ao longo de um trilho
(Figura a lado). O trecho
é um plano inclinado de ângulo
e altura
e o trecho
é um plano horizontal. Utilizando conceitos de conservação de energia,
(a) Qual a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C?;
(a) Qual a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C?;
No instante
a corrente de um motor elétrico de corrente contínua (dc) é invertida, produzindo um deslocamento angular do eixo do motor dado por
.
(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a velocidade angular é igual a zero.
(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a velocidade angular é igual a zero.
Um engenheiro está projetando uma peça de uma certa máquina que consiste em três conectores pesados ligados por suportes leves (Figura ao lado). Os conectores podem ser considerados como partículas pesadas conectadas por hastes com massas desprezíveis. Responda:
© Se o corpo gira com velocidade angular , em torno de um eixo perpendicular ao plano do desenho e que passa por A, qual é sua energia cinética?
© Se o corpo gira com velocidade angular
Dado uma barra delgada uniforme de massa M e comprimento L, determine:
(b) O seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto 0 , situado na extremidade esquerda da barra;
(b) O seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto 0 , situado na extremidade esquerda da barra;