A figura mostra um pêndulo balístico, um sistema simples para medir a velocidade de uma bala. A bala, com massa mB, é disparada contra um bloco de madeira com massa mM , suspenso como um pêndulo, com o qual produz uma colisão completamente inelástica. Depois do impacto com a bala, o bloco oscila atingindo uma altura máxima y. Conhecendo-se os valores de e mM , qual é a velocidade inicial vi da bala? Se , e , qual é o valor de vi e vf?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pêndulo balístico, que basicamente é um sistema para medir a velocidade de uma bala. A situação é a seguinte: uma bala com massa é disparada contra um bloco de madeira com massa , que está pendurado como um pêndulo. A colisão entre a bala e o bloco é completamente inelástica, o que significa que eles ficam juntos após o impacto. Depois dessa colisão, o bloco com a bala integrada sobe até atingir uma altura máxima .
O que precisamos descobrir é a velocidade inicial da bala ( ) antes de colidir, e também a velocidade final ( ) logo após a colisão. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais da física:
  1. Conservação da quantidade de movimento: Em colisões, especialmente as inelásticas, a quantidade de movimento total antes e depois da colisão se mantém.
  2. Conservação da energia: Depois da colisão, a energia cinética do sistema será convertida em energia potencial à altura máxima atingida pelo bloco com a bala.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a conservação da energia para encontrar a velocidade final ( ) logo após a colisão. Quando o bloco com a bala sobe até a altura , toda a energia cinética que eles tinham no momento imediatamente após a colisão é transformada em energia potencial gravitacional.
A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
Onde:
  • é a massa da bala,
  • é a massa do bloco,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura máxima atingida.
A energia cinética logo após a colisão é:
Como a energia cinética é convertida em energia potencial, temos:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que temos uma expressão para , vamos usar a conservação da quantidade de movimento para encontrar a velocidade inicial da bala ( ). Na colisão completamente inelástica, a quantidade de movimento antes da colisão é igual à quantidade de movimento após a colisão.
A quantidade de movimento é dada por:
Antes da colisão, apenas a bala está em movimento, então:
Após a colisão, a bala e o bloco se movem juntos com velocidade :
Igualando as duas quantidades:
Resolvendo para :

Passo 4

Vamos agora substituir os valores fornecidos na questão para calcular e .
Dados:
  • Massa da bala, (convertendo para kg)
  • Massa do bloco,
  • Altura máxima, (convertendo para metros)
  • Aceleração da gravidade,
Primeiro, vamos calcular :
Agora, usamos esse valor para encontrar :

Resposta

A velocidade inicial da bala é aproximadamente e a velocidade final após a colisão é cerca de .

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