A figura mostra um pêndulo balístico, um sistema simples para medir a velocidade de uma bala. A bala, com massa mB, é disparada contra um bloco de madeira com massa mM , suspenso como um pêndulo, com o qual produz uma colisão completamente inelástica. Depois do impacto com a bala, o bloco oscila atingindo uma altura máxima y. Conhecendo-se os valores de
e mM , qual é a velocidade inicial vi da bala? Se
,
e
, qual é o valor de vi e vf?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pêndulo balístico, que basicamente é um sistema para medir a velocidade de uma bala. A situação é a seguinte: uma bala com massa
é disparada contra um bloco de madeira com massa
, que está pendurado como um pêndulo. A colisão entre a bala e o bloco é completamente inelástica, o que significa que eles ficam juntos após o impacto. Depois dessa colisão, o bloco com a bala integrada sobe até atingir uma altura máxima
.
O que precisamos descobrir é a velocidade inicial da bala (
) antes de colidir, e também a velocidade final (
) logo após a colisão. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais da física:
- Conservação da quantidade de movimento: Em colisões, especialmente as inelásticas, a quantidade de movimento total antes e depois da colisão se mantém.
- Conservação da energia: Depois da colisão, a energia cinética do sistema será convertida em energia potencial à altura máxima atingida pelo bloco com a bala.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a conservação da energia para encontrar a velocidade final (
) logo após a colisão. Quando o bloco com a bala sobe até a altura
, toda a energia cinética que eles tinham no momento imediatamente após a colisão é transformada em energia potencial gravitacional.
A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
Onde:
-
é a massa da bala, -
é a massa do bloco, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura máxima atingida.
A energia cinética logo após a colisão é:
Como a energia cinética é convertida em energia potencial, temos:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora que temos uma expressão para
, vamos usar a conservação da quantidade de movimento para encontrar a velocidade inicial da bala (
). Na colisão completamente inelástica, a quantidade de movimento antes da colisão é igual à quantidade de movimento após a colisão.
A quantidade de movimento é dada por:
Antes da colisão, apenas a bala está em movimento, então:
Após a colisão, a bala e o bloco se movem juntos com velocidade
:
Igualando as duas quantidades:
Resolvendo para
:
Passo 4
Vamos agora substituir os valores fornecidos na questão para calcular
e
.
Dados:
- Massa da bala,
(convertendo para kg) - Massa do bloco,
- Altura máxima,
(convertendo para metros) - Aceleração da gravidade,
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, usamos esse valor para encontrar
:
Resposta
A velocidade inicial da bala é aproximadamente
e a velocidade final após a colisão é cerca de
.