Uma pequena esfera de massa
, raio
e momento de inércia
é largada do repouso no ponto
e rola sem deslizar ao longo de um trilho
(Figura a lado). O trecho
é um plano inclinado de ângulo
e altura
e o trecho
é um plano horizontal. Utilizando conceitos de conservação de energia,
© Qual a aceleração da esfera ao longo do plano inclinado
?
© Qual a aceleração da esfera ao longo do plano inclinado
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera que rola sem deslizar por um plano inclinado. A gente vai usar conservação de energia para encontrar a aceleração da esfera ao longo do plano. Precisamos lembrar como a energia se divide entre energia cinética de translação e de rotação quando o objeto rola.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. Quando a esfera está rolando, sua energia cinética total é a soma da energia de movimento (translação) e da energia devido à rotação. A fórmula para a energia cinética total
é:
Aqui:
-
é a massa da esfera, -
é a velocidade linear, -
é o momento de inércia, -
é a velocidade angular.
Passo 3
Como a esfera rola sem deslizar, temos uma relação entre
e
:
, onde
é o raio da esfera. Vamos substituir
por
na equação da energia cinética:
Passo 4
Sabemos que o momento de inércia
para uma esfera sólida é
. Vamos substituir isso na equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, usando a conservação de energia, a energia potencial gravitacional perdida pela esfera ao descer o plano inclinado se transforma na energia cinética:
Onde
é a aceleração da gravidade e
é a altura do plano inclinado.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Mas queremos a aceleração
, não a velocidade. Sabemos que:
Para uma descida com aceleração constante, podemos relacionar a distância
com a aceleração usando:
Relacionando com a expressão anterior:
Aqui, usamos
porque a componente da gravidade que acelera a esfera é
.
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
Sabemos que
:
Resposta
A aceleração da esfera ao longo do plano inclinado
é aproximadamente
.