Uma pequena esfera de massa m=100 g, raio r=1,0 cm e momento de inércia I=(2 / 5) m r^2 é largada do repouso no ponto A e rola sem deslizar ao longo de um trilho A B C (Figura a lado). O trecho A B é um plano inclinado de ângulo theta=30^circ e altura h=1,0 m e o trecho B C é um plano horizontal. Utilizando conceitos de conservação de energia,
© Qual a aceleração da esfera ao longo do plano inclinado A B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera que rola sem deslizar por um plano inclinado. A gente vai usar conservação de energia para encontrar a aceleração da esfera ao longo do plano. Precisamos lembrar como a energia se divide entre energia cinética de translação e de rotação quando o objeto rola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. Quando a esfera está rolando, sua energia cinética total é a soma da energia de movimento (translação) e da energia devido à rotação. A fórmula para a energia cinética total Ek = 12 m v^2 + 12 I omega^2 é:
Aqui:
  • é a massa da esfera,
  • é a velocidade linear,
  • é o momento de inércia,
  • é a velocidade angular.

Passo 3

Como a esfera rola sem deslizar, temos uma relação entre Ek = 12 m v^2 + 12 I ( vr )^2 e : , onde é o raio da esfera. Vamos substituir por na equação da energia cinética:

Passo 4

Sabemos que o momento de inércia Ek = 12 m v^2 + 12 ( 25 m r^2 ) ( vr )^2 para uma esfera sólida é Ek = 12 m v^2 + 15 m v^2 = 710 m v^2 . Vamos substituir isso na equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, usando a conservação de energia, a energia potencial gravitacional perdida pela esfera ao descer o plano inclinado se transforma na energia cinética:
m g h = 710 m v^2
Onde é a aceleração da gravidade e é a altura do plano inclinado.

Passo 6

Vamos resolver para v^2 = 107 g h :
v = a t
Mas queremos a aceleração h = 12 a t^2 , não a velocidade. Sabemos que:
a = 107 g sin(theta)
Para uma descida com aceleração constante, podemos relacionar a distância com a aceleração usando:
Relacionando com a expressão anterior:
Aqui, usamos porque a componente da gravidade que acelera a esfera é .

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
a = 107 times 9,8 , m/s^2 times sin(30^circ)
Sabemos que a = 107 times 9,8 times 0,5 approx 107 times 4,9 approx 7,0 , m/s^2 :

Resposta

A aceleração da esfera ao longo do plano inclinado é aproximadamente .

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