Dado o campo
, Determine: o trabalho realizado para movimentar uma carga
de A para B. Dados os pontos:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma carga elétrica $ q = -2 , \muC $ que vai se mover de um ponto A para um ponto B em um campo elétrico definido por $ \bar{E} = y , \bar{a}_x + x , \bar{a}_y $ (V/m). Nosso objetivo é descobrir qual é o trabalho realizado nessa movimentação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos elétricos e como calcular o trabalho realizado por eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho $ W $ realizado por um campo elétrico ao mover uma carga de um ponto A para um ponto B pode ser calculado pela integral do campo elétrico ao longo do caminho percorrido:
Mas, antes de mais nada, precisamos verificar se o campo elétrico dado é conservativo. Se for, isso simplifica a nossa vida porque o trabalho dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho.
Passo 3
Para verificar se o campo elétrico é conservativo, a gente calcula o rotacional de $ \bar{E} $. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Dado $ \bar{E} = y , \bar{a}_x + x , \bar{a}_y $, o rotacional é:
Como $ E_z = 0 $, as primeiras duas componentes ficam zero. A última componente é:
Então, $ \nabla \times \bar{E} = 0 $, o que confirma que o campo é conservativo.
Passo 4
Como o campo elétrico é conservativo, podemos encontrar uma função potencial $ V $ tal que $ \bar{E} = -\nabla V $. Vamos encontrar essa função potencial.
Dado $ \bar{E} = y , \bar{a}_x + x , \bar{a}_y $, temos:
Integrando a primeira equação em relação a $ x $:
Agora, derivamos $ V $ em relação a $ y $:
Isso implica que $ f’(y) = 0 $, então $ f(y) $ é uma constante. Podemos ignorar essa constante para facilitar.
Então, a função potencial é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre os pontos B e A:
Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, o trabalho realizado é dado por:
Substituindo os valores:
Resposta
O trabalho realizado para movimentar a carga de A para B é de 28 μJ.