Dado o campo barE=y barax+x baray(V / m), Determine: o trabalho realizado para movimentar uma carga q=-2 mu C de A para B. Dados os pontos: A(x=2 m, y=1 m, z=-1 m) e B(x=8 m, y=2 m, z=1 m). (2,5 pto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma carga elétrica $ q = -2 , \muC $ que vai se mover de um ponto A para um ponto B em um campo elétrico definido por $ \bar{E} = y , \bar{a}_x + x , \bar{a}_y $ (V/m). Nosso objetivo é descobrir qual é o trabalho realizado nessa movimentação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos elétricos e como calcular o trabalho realizado por eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho $ W $ realizado por um campo elétrico ao mover uma carga de um ponto A para um ponto B pode ser calculado pela integral do campo elétrico ao longo do caminho percorrido:
W
Mas, antes de mais nada, precisamos verificar se o campo elétrico dado é conservativo. Se for, isso simplifica a nossa vida porque o trabalho dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho.

Passo 3

Para verificar se o campo elétrico é conservativo, a gente calcula o rotacional de $ \bar{E} $. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Dado $ \bar{E} = y , \bar{a}_x + x , \bar{a}_y $, o rotacional é:
barE
Como $ E_z = 0 $, as primeiras duas componentes ficam zero. A última componente é:
barE = y , barax + x , baray
Então, $ \nabla \times \bar{E} = 0 $, o que confirma que o campo é conservativo.

Passo 4

Como o campo elétrico é conservativo, podemos encontrar uma função potencial $ V $ tal que $ \bar{E} = -\nabla V $. Vamos encontrar essa função potencial.
Dado $ \bar{E} = y , \bar{a}_x + x , \bar{a}_y $, temos:
V
Integrando a primeira equação em relação a $ x $:
barE = -nabla V
Agora, derivamos $ V $ em relação a $ y $:
barE = y , barax + x , baray
Isso implica que $ f’(y) = 0 $, então $ f(y) $ é uma constante. Podemos ignorar essa constante para facilitar.
Então, a função potencial é:
partial Vpartial x = -y e partial Vpartial y = -x

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre os pontos B e A:
De
Substituindo os valores:
De

Passo 6

Finalmente, o trabalho realizado é dado por:
W = q De
Substituindo os valores:
W = (-2 times 10^-6 , C)(-14 , V) = 28 times 10^-6 , J = 28 , muJ

Resposta

O trabalho realizado para movimentar a carga de A para B é de 28 μJ.

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