Uma distribuição esférica de carga
existe na região
. Determine: (a) a carga total dentro da região
, (b) o campo elétrico
em
cm, © o campo elétrico
. Dados:
. (2,5pto)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga varia com a distância ao centro da esfera, dada por
para
. Precisamos resolver três partes:
(a) Encontrar a carga total dentro da esfera.
(b) Determinar o campo elétrico em
cm.
© Determinar o campo elétrico em
cm.
Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, para resolver essas partes. Também vamos precisar integrar a densidade de carga para achar a carga total.
(a) Encontrar a carga total dentro da esfera.
(b) Determinar o campo elétrico
© Determinar o campo elétrico
Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, para resolver essas partes. Também vamos precisar integrar a densidade de carga para achar a carga total.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar a carga total dentro da região
. A carga total
pode ser encontrada integrando a densidade de carga sobre o volume da esfera.
A fórmula para a carga total é:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 3
Substituímos
na integral:
Vamos distribuir a
dentro do colchete:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 5
Substituindo os resultados das integrais na expressão de
:
Calculando os parênteses:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos os valores dados:
Então:
Calculando
:
Então:
Multiplicando os números:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b): determinar o campo elétrico
em
cm.
Primeiro, notamos que
cm está fora da região da carga, já que
cm. Para pontos fora da distribuição esférica de carga, o campo elétrico funciona como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
A fórmula para o campo elétrico fora da distribuição é:
Onde:
-
-
é a carga total que calculamos na parte (a) -
Passo 8
Substituindo os valores:
Calculando
:
Então:
Calculando:
Passo 9
Por fim, a parte ©: determinar o campo elétrico
em
cm.
Aqui,
cm está dentro da distribuição de carga (
). Para pontos dentro da distribuição, usamos a Lei de Gauss considerando apenas a carga encerrada dentro de um raio
menor que
.
A fórmula para o campo elétrico dentro é:
Onde
é a carga total dentro do raio
:
Passo 10
Calculamos
para
cm = 0,008 m:
Então:
Passo 11
Agora, substituímos
na fórmula do campo elétrico:
Calculando
:
Então:
Calculando:
Resposta
(a) A carga total dentro da região
é aproximadamente
.
(b) O campo elétrico em
é aproximadamente
.
© O campo elétrico em
é aproximadamente
.