Uma distribuição esférica de carga rhov=rho0[1-(r^2 / R^2)] existe na região 0 <= r <= R. Determine: (a) a carga total dentro da região 0 <= r <= R, (b) o campo elétrico barE em r=2 cm, © o campo elétrico barE em r=0,8 cm. Dados: rho0=2 nC / m^3 e R=1,2 cm. (2,5pto)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga varia com a distância ao centro da esfera, dada por rhov = rho0[1 - (r^2R^2)] para 0 <= r <= R. Precisamos resolver três partes:
(a) Encontrar a carga total dentro da esfera.
(b) Determinar o campo elétrico barE em r = 2 cm.
© Determinar o campo elétrico barE em r = 0,8 cm.
Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, para resolver essas partes. Também vamos precisar integrar a densidade de carga para achar a carga total.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar a carga total dentro da região 0 <= r <= R. A carga total Q pode ser encontrada integrando a densidade de carga sobre o volume da esfera.
A fórmula para a carga total é:
Q = integral0^R rhov cdot 4pi r^2 dr
Aqui, 4pi r^2 dr é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 3

Substituímos rhov na integral:
Q = integral0^R rho0[1 - (r^2R^2)] cdot 4pi r^2 dr
Vamos distribuir a rho0 dentro do colchete:
Q = 4pi rho0 integral0^R (r^2 - r^4R^2) dr

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^R r^2 dr = [r^33]0^R = R^33
integral0^R r^4R^2 dr = 1R^2 [r^55]0^R = R^35

Passo 5

Substituindo os resultados das integrais na expressão de Q:
Q = 4pi rho0 (R^33 - R^35) = 4pi rho0 R^3 (13 - 15)
Calculando os parênteses:
13 - 15 = 5 - 315 = 215
Então:
Q = 4pi rho0 R^3 cdot 215 = 8pi15 rho0 R^3

Passo 6

Agora, substituímos os valores dados:
rho0 = 2, nC/m^3 = 2 times 10^-9, C/m^3
R = 1,2, cm = 0,012, m
Então:
Q = 8pi15 times 2 times 10^-9 times (0,012)^3
Calculando (0,012)^3:
(0,012)^3 = 1,728 times 10^-6, m^3
Então:
Q = 16pi15 times 10^-9 times 1,728 times 10^-6
Multiplicando os números:
Q approx 16 times 3,141615 times 1,728 times 10^-15
Q approx 50,265615 times 1,728 times 10^-15
Q approx 3,35104 times 1,728 times 10^-15
Q approx 5,8 times 10^-15, C

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): determinar o campo elétrico barE em r = 2 cm.
Primeiro, notamos que r = 2 cm está fora da região da carga, já que R = 1,2 cm. Para pontos fora da distribuição esférica de carga, o campo elétrico funciona como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
A fórmula para o campo elétrico fora da distribuição é:
E = 14pivarepsilon0 cdot Qr^2
Onde:
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12, C^2/(N m^2)
  • Q é a carga total que calculamos na parte (a)
  • r = 2, cm = 0,02, m

Passo 8

Substituindo os valores:
E = 14pi times 8,85 times 10^-12 cdot 5,8 times 10^-15(0,02)^2
Calculando (0,02)^2:
(0,02)^2 = 0,0004, m^2
Então:
E = 11,112 times 10^-10 cdot 5,8 times 10^-150,0004
Calculando:
E = 8,988 times 10^9 cdot 5,8 times 10^-150,0004
E = 8,988 times 10^9 cdot 1,45 times 10^-11
E approx 1,303 times 10^-1, N/C = 0,1303, N/C

Passo 9

Por fim, a parte ©: determinar o campo elétrico barE em r = 0,8 cm.
Aqui, r = 0,8 cm está dentro da distribuição de carga ( 0 <= r <= R). Para pontos dentro da distribuição, usamos a Lei de Gauss considerando apenas a carga encerrada dentro de um raio r menor que R.
A fórmula para o campo elétrico dentro é:
E = 14pivarepsilon0 cdot Qencr^2
Onde Qenc é a carga total dentro do raio r:
Qenc = 8pi15 rho0 r^3

Passo 10

Calculamos Qenc para r = 0,8 cm = 0,008 m:
Qenc = 8pi15 times 2 times 10^-9 times (0,008)^3
(0,008)^3 = 5,12 times 10^-7, m^3
Então:
Qenc = 16pi15 times 10^-9 times 5,12 times 10^-7
Qenc approx 50,265615 times 5,12 times 10^-16
Qenc approx 3,35104 times 5,12 times 10^-16
Qenc approx 1,715 times 10^-15, C

Passo 11

Agora, substituímos Qenc na fórmula do campo elétrico:
E = 14pi times 8,85 times 10^-12 cdot 1,715 times 10^-15(0,008)^2
Calculando (0,008)^2:
(0,008)^2 = 6,4 times 10^-5, m^2
Então:
E = 11,112 times 10^-10 cdot 1,715 times 10^-156,4 times 10^-5
Calculando:
E = 8,988 times 10^9 cdot 1,715 times 10^-156,4 times 10^-5
E = 8,988 times 10^9 cdot 2,6797 times 10^-11
E approx 2,409 times 10^-1, N/C = 0,2409, N/C

Resposta

(a) A carga total dentro da região 0 <= r <= R é aproximadamente 5,8 times 10^-15, C.
(b) O campo elétrico em r = 2, cm é aproximadamente 0,1303, N/C.
© O campo elétrico em r = 0,8, cm é aproximadamente 0,2409, N/C.

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