Fa, ca o diagrama de bifurca, c ao para a seguinte equa, c ao regida pelo parametro a: a. Esboce os retratos de fase correspondentes a e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente fazer o diagrama de bifurcação e esboçar os retratos de fase para a equação diferencial , onde é um parâmetro que pode ser menor que zero, igual a zero ou maior que zero. Basicamente, vamos precisar entender como as soluções dessa equação se comportam para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação. Pontos de equilíbrio são onde , ou seja, onde a função não está mudando. Então, igualamos a equação a zero:

Passo 3

Agora, resolvendo a equação para :
Aqui, precisamos considerar os casos onde , e :
  • Para : é positivo, então temos dois pontos de equilíbrio reais: e .
  • Para : A equação fica , então temos um único ponto de equilíbrio: .
  • Para : A equação não tem solução real, pois não dá pra tirar raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos reais. Então, não há pontos de equilíbrio.

Passo 4

Com os pontos de equilíbrio encontrados, vamos analisar a estabilidade de cada um. Para isso, derivamos a função em relação a :
A estabilidade depende do sinal dessa derivada nos pontos de equilíbrio:
  • Para :
    • No ponto : → instável.
    • No ponto : → estável.
  • Para :
    • No ponto : → neutro (não é nem estável nem instável).
  • Para :
    • Não há pontos de equilíbrio.

Passo 5

Agora, vamos montar o diagrama de bifurcação com base nessas informações:
  • No eixo horizontal, colocamos o parâmetro .
  • No eixo vertical, os pontos de equilíbrio .
Observamos que para temos duas soluções (estável e instável), enquanto para não há equilíbrio real.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar os retratos de fase para cada caso:
  • Para : Dois pontos de equilíbrio, um estável (atraente) e outro instável (repulsivo). As soluções próximas ao ponto estável vão convergir para ele, enquanto as próximas ao instável irão se afastar.
  • Para : Um ponto de equilíbrio neutro em . As soluções não se aproximam nem se afastam significativamente desse ponto.
  • Para : Sem pontos de equilíbrio, o comportamento é que tende a ou dependendo da condição inicial.

Resposta

Concluímos que o diagrama de bifurcação para a equação apresenta dois pontos de equilíbrio para (um estável e outro instável), um único ponto neutro para e nenhum ponto de equilíbrio para . Os retratos de fase refletem esses comportamentos, mostrando a estabilidade dos pontos conforme o parâmetro varia.

Exercícios relacionados

Dado o campo , pedem-se:
(a) O espa, co de fase da EDO .
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
©
Dado o campo , pedem-se:
© O retrato de fase da EDO na regi ao .
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: