Fa, ca o diagrama de bifurca, c ao para a seguinte equa, c ao regida pelo parametro a:
a. Esboce os retratos de fase correspondentes a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente fazer o diagrama de bifurcação e esboçar os retratos de fase para a equação diferencial
, onde
é um parâmetro que pode ser menor que zero, igual a zero ou maior que zero. Basicamente, vamos precisar entender como as soluções dessa equação se comportam para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação. Pontos de equilíbrio são onde
, ou seja, onde a função não está mudando. Então, igualamos a equação a zero:
Passo 3
Agora, resolvendo a equação
para
:
Aqui, precisamos considerar os casos onde
,
e
:
- Para
: é positivo, então temos dois pontos de equilíbrio reais: e . - Para
: A equação fica , então temos um único ponto de equilíbrio: . - Para
: A equação não tem solução real, pois não dá pra tirar raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos reais. Então, não há pontos de equilíbrio.
Passo 4
Com os pontos de equilíbrio encontrados, vamos analisar a estabilidade de cada um. Para isso, derivamos a função
em relação a
:
A estabilidade depende do sinal dessa derivada nos pontos de equilíbrio:
- Para
: - No ponto
: → instável. - No ponto
: → estável.
- No ponto
- Para
: - No ponto
: → neutro (não é nem estável nem instável).
- No ponto
- Para
: - Não há pontos de equilíbrio.
Passo 5
Agora, vamos montar o diagrama de bifurcação com base nessas informações:
- No eixo horizontal, colocamos o parâmetro
. - No eixo vertical, os pontos de equilíbrio
.
Observamos que para
temos duas soluções (estável e instável), enquanto para
não há equilíbrio real.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar os retratos de fase para cada caso:
- Para
: Dois pontos de equilíbrio, um estável (atraente) e outro instável (repulsivo). As soluções próximas ao ponto estável vão convergir para ele, enquanto as próximas ao instável irão se afastar. - Para
: Um ponto de equilíbrio neutro em . As soluções não se aproximam nem se afastam significativamente desse ponto. - Para
: Sem pontos de equilíbrio, o comportamento é que tende a ou dependendo da condição inicial.
Resposta
Concluímos que o diagrama de bifurcação para a equação
apresenta dois pontos de equilíbrio para
(um estável e outro instável), um único ponto neutro para
e nenhum ponto de equilíbrio para
. Os retratos de fase refletem esses comportamentos, mostrando a estabilidade dos pontos conforme o parâmetro
varia.
Exercícios relacionados
Dado o campo
, pedem-se:
(a) O espa, co de fase da EDO .
(a) O espa, co de fase da EDO
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
©
sentido:
©
Dado o campo
, pedem-se:
© O retrato de fase da EDO na regi ao
.
© O retrato de fase da EDO
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: