Dado o campo
, pedem-se:
(a) O espa, co de fase da EDO
.
(a) O espa, co de fase da EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o espaço de fase da equação diferencial ordinária (EDO) dada por
, onde
. Isso está relacionado ao estudo de sistemas dinâmicos, onde analisamos como o sistema evolui ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é espaço de fase e como representá-lo para uma EDO de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre EDOs de segunda ordem. Essas são equações que envolvem a segunda derivada de uma função, no caso,
. A equação
descreve como a aceleração
depende da posição
. Resolver essa EDO nos dá informações sobre o movimento do sistema ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, o espaço de fase é uma ferramenta que nos ajuda a visualizar e analisar o comportamento de sistemas dinâmicos como esse. Para uma EDO de segunda ordem, o espaço de fase é um diagrama em que cada ponto representa um estado do sistema, definido por duas variáveis: a posição
e a velocidade
. Assim, cada estado do sistema pode ser representado por um ponto
nesse espaço.
Passo 4
Vamos definir as variáveis de fase para a nossa EDO
:
- Posição:
- Velocidade:
Com isso, podemos reescrever a equação de segunda ordem como um sistema de duas equações de primeira ordem:
Essas equações descrevem como
e
evoluem ao longo do tempo.
Passo 5
Com as variáveis definidas, o espaço de fase para a EDO
é o plano formado pelos eixos
e
. Cada ponto nesse plano representa o estado do sistema em um instante específico, mostrando a posição e a velocidade naquele momento.
Resposta
O espaço de fase da EDO
é o plano bidimensional formado pelas variáveis posição
e velocidade
. Cada ponto
nesse espaço representa um estado do sistema, permitindo a análise do comportamento dinâmico da equação.
Exercícios relacionados
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
©
sentido:
©
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
(b)
sentido:
(b)
Fa, ca o diagrama de bifurca, c ao para a seguinte equa, c ao regida pelo parametro a:
a. Esboce os retratos de fase correspondentes a
e
.
Dado o campo
, pedem-se:
© O retrato de fase da EDO na regi ao
.
© O retrato de fase da EDO