Dado o campo , pedem-se:
(a) O espa, co de fase da EDO .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o espaço de fase da equação diferencial ordinária (EDO) dada por , onde . Isso está relacionado ao estudo de sistemas dinâmicos, onde analisamos como o sistema evolui ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é espaço de fase e como representá-lo para uma EDO de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre EDOs de segunda ordem. Essas são equações que envolvem a segunda derivada de uma função, no caso, . A equação descreve como a aceleração depende da posição . Resolver essa EDO nos dá informações sobre o movimento do sistema ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, o espaço de fase é uma ferramenta que nos ajuda a visualizar e analisar o comportamento de sistemas dinâmicos como esse. Para uma EDO de segunda ordem, o espaço de fase é um diagrama em que cada ponto representa um estado do sistema, definido por duas variáveis: a posição e a velocidade . Assim, cada estado do sistema pode ser representado por um ponto nesse espaço.

Passo 4

Vamos definir as variáveis de fase para a nossa EDO :
  • Posição:
  • Velocidade:
Com isso, podemos reescrever a equação de segunda ordem como um sistema de duas equações de primeira ordem:
Essas equações descrevem como e evoluem ao longo do tempo.

Passo 5

Com as variáveis definidas, o espaço de fase para a EDO é o plano formado pelos eixos e . Cada ponto nesse plano representa o estado do sistema em um instante específico, mostrando a posição e a velocidade naquele momento.

Resposta

O espaço de fase da EDO é o plano bidimensional formado pelas variáveis posição e velocidade . Cada ponto nesse espaço representa um estado do sistema, permitindo a análise do comportamento dinâmico da equação.

Exercícios relacionados

Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
©
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
(b)
Fa, ca o diagrama de bifurca, c ao para a seguinte equa, c ao regida pelo parametro a: a. Esboce os retratos de fase correspondentes a e .
Dado o campo , pedem-se:
© O retrato de fase da EDO na regi ao .