Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
(b) x = x^(1/5)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente precisa determinar o espaço de fase e o maior subconjunto onde um retrato de fase faz sentido para a equação . Isso está dentro da matéria de Sistemas Dinâmicos, onde analisamos como o sistema se comporta ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espaço de fase. Ele é um conjunto que contém todos os possíveis estados do sistema. No nosso caso, como temos apenas uma variável , o espaço de fase será simplesmente o conjunto dos valores de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos fixos da equação . Ponto fixo é onde o sistema não muda, ou seja, permanece constante. Para isso, resolvemos a equação:

Passo 4

Vamos elevar ambos os lados à quinta potência para eliminar a raiz:
Isso simplifica para:

Passo 5

Resolvendo a equação, temos:
Para , as soluções são:
Então, os pontos fixos são , e .

Passo 6

O retratro de fase faz sentido nos pontos onde o sistema se comporta de forma estável ou instável. Aqui, analisamos os pontos fixos encontrados:
  • e : Esses são pontos de equilíbrio estável, pois se o sistema estiver próximo desses pontos, ele tende a permanecer ou retornar a eles.
  • : Esse é um ponto de equilíbrio instável, já que pequenas perturbações afastam o sistema desse ponto.

Passo 7

Portanto, o maior subconjunto onde o retrato de fase faz sentido inclui todos esses pontos fixos e os comportamentos ao redor deles.

Resposta

O espaço de fase é (todos os números reais) e o maior subconjunto onde um retrato de fase faz sentido é , com os pontos e sendo estáveis e instável.

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