Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
(b)
sentido:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente precisa determinar o espaço de fase e o maior subconjunto onde um retrato de fase faz sentido para a equação
. Isso está dentro da matéria de Sistemas Dinâmicos, onde analisamos como o sistema se comporta ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o espaço de fase. Ele é um conjunto que contém todos os possíveis estados do sistema. No nosso caso, como temos apenas uma variável
, o espaço de fase será simplesmente o conjunto dos valores de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos fixos da equação
. Ponto fixo é onde o sistema não muda, ou seja,
permanece constante. Para isso, resolvemos a equação:
Passo 4
Vamos elevar ambos os lados à quinta potência para eliminar a raiz:
Isso simplifica para:
Passo 5
Resolvendo a equação, temos:
Para
, as soluções são:
Então, os pontos fixos são
,
e
.
Passo 6
O retratro de fase faz sentido nos pontos onde o sistema se comporta de forma estável ou instável. Aqui, analisamos os pontos fixos encontrados:
-
e : Esses são pontos de equilíbrio estável, pois se o sistema estiver próximo desses pontos, ele tende a permanecer ou retornar a eles. -
: Esse é um ponto de equilíbrio instável, já que pequenas perturbações afastam o sistema desse ponto.
Passo 7
Portanto, o maior subconjunto onde o retrato de fase faz sentido inclui todos esses pontos fixos e os comportamentos ao redor deles.
Resposta
O espaço de fase é
(todos os números reais) e o maior subconjunto onde um retrato de fase faz sentido é
, com os pontos
e
sendo estáveis e
instável.
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sentido: (a)
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. Encontre outra solu, caao (bem simples) para o mesmo PVI usando sua experīencia. Por que a exist^encia de (ao menos) duas solu,
oes ñao viola o teorema da exist^encia e unicidade?
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
©
sentido:
©
Dado o campo
, pedem-se:
(a) O espa, co de fase da EDO .
(a) O espa, co de fase da EDO