Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
© x=partial x+2 partial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o espaço de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz sentido para a equação . Aqui, estamos lidando com sistemas dinâmicos e usando conceitos de espaço de fase e retratos de fase. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço de fase, como construir um retrato de fase e analisar a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a equação dxdt = x + 2 . Parece que há uma notação um pouco confusa, mas provavelmente está representando uma equação diferencial. Supondo que representa a derivada em relação ao tempo , a equação pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um espaço de fase. Para sistemas unidimensionais como este, o espaço de fase é simplesmente a linha dos números reais onde cada ponto representa um estado possível do sistema, ou seja, um valor de .

Passo 4

Com o espaço de fase definido, o próximo passo é construir o retratos de fase. Isso envolve analisar a derivada x + 2 = 0 Rightarrow x = -2 para entender como evolui ao longo do tempo. Vamos encontrar os pontos de equilíbrio, onde :

Passo 5

Agora, analisamos a estabilidade desse ponto de equilíbrio. Para isso, observamos o sinal de em relação a :
  • Se , então , então aumenta.
  • Se , então , então diminui.
Isso nos mostra que o ponto é um ponto de equilíbrio estável, já que as soluções tendem a se aproximar dele.

Passo 6

Com essas informações, podemos desenhar o retratos de fase. No eixo , marcamos o ponto . As setas indicarão a direção do fluxo:
  • À direita de , as setas apontam para a direita (indicando que está aumentando).
  • À esquerda de , as setas apontam para a esquerda (indicando que está diminuindo).
Isso ajuda a visualizar como o sistema se comporta ao longo do tempo.

Resposta

O espaço de fase é a linha dos números reais , e o maior subconjunto onde o retratos de fase faz sentido é todo o espaço de fase . O retrato de fase apresenta um ponto de equilíbrio em , onde as soluções tendem a se aproximar desse valor com o tempo.

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