Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
©
sentido:
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o espaço de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz sentido para a equação
. Aqui, estamos lidando com sistemas dinâmicos e usando conceitos de espaço de fase e retratos de fase. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço de fase, como construir um retrato de fase e analisar a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a equação
. Parece que há uma notação um pouco confusa, mas provavelmente está representando uma equação diferencial. Supondo que
representa a derivada em relação ao tempo
, a equação pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um espaço de fase. Para sistemas unidimensionais como este, o espaço de fase é simplesmente a linha dos números reais onde cada ponto representa um estado possível do sistema, ou seja, um valor de
.
Passo 4
Com o espaço de fase definido, o próximo passo é construir o retratos de fase. Isso envolve analisar a derivada
para entender como
evolui ao longo do tempo. Vamos encontrar os pontos de equilíbrio, onde
:
Passo 5
Agora, analisamos a estabilidade desse ponto de equilíbrio. Para isso, observamos o sinal de
em relação a
:
- Se
, então , então aumenta. - Se
, então , então diminui.
Isso nos mostra que o ponto
é um ponto de equilíbrio estável, já que as soluções tendem a se aproximar dele.
Passo 6
Com essas informações, podemos desenhar o retratos de fase. No eixo
, marcamos o ponto
. As setas indicarão a direção do fluxo:
- À direita de
, as setas apontam para a direita (indicando que está aumentando). - À esquerda de
, as setas apontam para a esquerda (indicando que está diminuindo).
Isso ajuda a visualizar como o sistema se comporta ao longo do tempo.
Resposta
O espaço de fase é a linha dos números reais
, e o maior subconjunto onde o retratos de fase faz sentido é todo o espaço de fase
. O retrato de fase apresenta um ponto de equilíbrio em
, onde as soluções tendem a se aproximar desse valor com o tempo.
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Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
(b)
sentido:
(b)
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido: (a)
sentido: (a)
Dado o campo
, pedem-se:
(a) O espa, co de fase da EDO .
(a) O espa, co de fase da EDO
Fa, ca o diagrama de bifurca, c ao para a seguinte equa, c ao regida pelo parametro a:
a. Esboce os retratos de fase correspondentes a
e
.