Para o seguinte campo de velocidade:
Calcule as componentes da derivada material deste campo que sejam normal e tangencial ao vetor velocidade respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por:
Precisamos calcular as componentes da derivada material desse campo que são normais e tangenciais ao vetor velocidade.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada material e como decompor um vetor em componentes normal e tangencial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada material. Ela representa a taxa de variação de uma grandeza (neste caso, a velocidade) seguindo o movimento de uma partícula no fluxo. Matemáticamente, para um campo de velocidade u, a derivada material é dada por:
Como não há dependência explícita do tempo no nosso campo de velocidade, o primeiro termo desaparece, ficando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o termo . Primeiro, definimos o vetor velocidade :
O operador em coordenadas cartesianas é:
Então, o produto é:
Passo 4
Aplicando esse operador ao vetor velocidade :
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para :
Então,
Para :
Então,
Passo 5
Substituindo as derivadas parciais na expressão da derivada material:
Fazendo as multiplicações:
Simplificando:
Passo 6
Agora, queremos decompor esse vetor derivada material em componentes normal e tangencial ao vetor velocidade .
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor pode ser decomposto em partes paralela (tangencial) e perpendicular (normal) a um vetor usando projeções.
As fórmulas são:
Componente tangencial:
Componente normal:
Passo 7
Vamos calcular o produto escalar entre e :
Em seguida, calculamos o módulo de :
Passo 8
Agora, a componente tangencial é:
Para a componente normal, usamos:
Primeiro, calculamos :
Então,
Simplificando:
Esse cálculo pode ser simplificado, mas para fins de clareza, mantemos a expressão nessa forma.
Resposta
As componentes da derivada material do campo de velocidade são: