Para o seguinte campo de velocidade:
u1=2 x2^2
u2=3 x1
Calcule as componentes da derivada material deste campo que sejam normal e tangencial ao vetor velocidade respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por:
u1 = 2 x2^2
u2 = 3 x1
Precisamos calcular as componentes da derivada material desse campo que são normais e tangenciais ao vetor velocidade.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada material e como decompor um vetor em componentes normal e tangencial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada material. Ela representa a taxa de variação de uma grandeza (neste caso, a velocidade) seguindo o movimento de uma partícula no fluxo. Matemáticamente, para um campo de velocidade u, a derivada material é dada por:
DuDt = partial upartial t + (u cdot nabla) u
Como não há dependência explícita do tempo no nosso campo de velocidade, o primeiro termo desaparece, ficando:
DuDt = (u cdot nabla) u

Passo 3

Agora, vamos calcular o termo (u cdot nabla) u. Primeiro, definimos o vetor velocidade u:
u = u1 i + u2 j = 2 x2^2 i + 3 x1 j
O operador nabla em coordenadas cartesianas é:
nabla = i partialpartial x1 + j partialpartial x2
Então, o produto (u cdot nabla) é:
(u cdot nabla) = u1 partialpartial x1 + u2 partialpartial x2 = 2 x2^2 partialpartial x1 + 3 x1 partialpartial x2

Passo 4

Aplicando esse operador ao vetor velocidade u:
DuDt = (u cdot nabla)u = 2 x2^2 partial upartial x1 + 3 x1 partial upartial x2
Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Para partial upartial x1:
partial u1partial x1 = partialpartial x1 (2 x2^2) = 0
partial u2partial x1 = partialpartial x1 (3 x1) = 3
Então,
partial upartial x1 = 0 i + 3 j
  • Para partial upartial x2:
partial u1partial x2 = partialpartial x2 (2 x2^2) = 4 x2
partial u2partial x2 = partialpartial x2 (3 x1) = 0
Então,
partial upartial x2 = 4 x2 i + 0 j

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais na expressão da derivada material:
DuDt = 2 x2^2 (0 i + 3 j) + 3 x1 (4 x2 i + 0 j)
Fazendo as multiplicações:
DuDt = (0 + 12 x1 x2) i + (6 x2^2 + 0) j
Simplificando:
DuDt = 12 x1 x2 i + 6 x2^2 j

Passo 6

Agora, queremos decompor esse vetor derivada material em componentes normal e tangencial ao vetor velocidade u.
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor a pode ser decomposto em partes paralela (tangencial) e perpendicular (normal) a um vetor b usando projeções.
As fórmulas são:
  • Componente tangencial:
aparal<=l = a cdot b|b|
  • Componente normal:
aperp = raiz|a|^2 - aparal<=l^2

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar entre DuDt e u:
DuDt cdot u = (12 x1 x2) (2 x2^2) + (6 x2^2) (3 x1) = 24 x1 x2^3 + 18 x1 x2^2 = 42 x1 x2^3
Em seguida, calculamos o módulo de u:
|u| = raiz(2 x2^2)^2 + (3 x1)^2 = raiz4 x2^4 + 9 x1^2

Passo 8

Agora, a componente tangencial é:
(DuDt)paral<=l = 42 x1 x2^3raiz4 x2^4 + 9 x1^2
Para a componente normal, usamos:
(DuDt)perp = raiz|DuDt|^2 - (DuDt cdot u|u|)^2
Primeiro, calculamos |DuDt|:
Então,
|DuDt| = raiz(12 x1 x2)^2 + (6 x2^2)^2 = raiz144 x1^2 x2^2 + 36 x2^4 = raiz36 x2^2 (4 x1^2 + x2^2) = 6 x2 raiz4 x1^2 + x2^2
Simplificando:
Esse cálculo pode ser simplificado, mas para fins de clareza, mantemos a expressão nessa forma.

Resposta

As componentes da derivada material do campo de velocidade são:
  • Componente tangencial:
(DuDt)paral<=l = 42 x1 x2^3raiz4 x2^4 + 9 x1^2
  • Componente normal:

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S=a\otimesb \ S
Observa-se que o resultado desta operação é um tensor. Usando o produto diádico acima, prove a seguinte identidade vetorial (onde a, b e u são vetores):
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u cdot nabla u=(u cdot nabla) u
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