(2,0): Dado o campo vetorial
calcule a integral de linha , onde é curva parametrizada por , .
Dica: Mostre quc ć um campo conscrvativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva parametrizada por onde . Para resolver isso, vamos verificar se é um campo conservativo, o que simplifica bastante o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Isso significa que:
Uma condição importante para que seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo :

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

Vemos que:
Como as derivadas parciais são iguais, o campo é realmente conservativo.

Passo 6

Para calcular a integral de linha em um campo conservativo ao longo de uma curva fechada , sabemos que:
Isso ocorre porque o deslocamento total em uma curva fechada é zero em um campo conservativo.

Resposta

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Resolva a equação diferencial
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo. Faça também um esboço do gráfico destas soluções:
a)
b)
c)
d)
(2,0): Use o teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
  • e consiste no arco da curva de a e o segmento de reta de a .