(2,0): Dado o campo vetorial
F(x, y)=(x^2 y+e^x^2) i+(x^33+e^cos y) j
calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é curva parametrizada por r(t)=e^sen t i+e^cos t j, 0 <= t <= 2 pi.
Dica: Mostre quc F ć um campo conscrvativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva parametrizada por onde . Para resolver isso, vamos verificar se é um campo conservativo, o que simplifica bastante o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial partial phipartial x = P e partial phipartial y = Q é conservativo se existir uma função potencial partial Qpartial x = partial Ppartial y tal que . Isso significa que:
Uma condição importante para que seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos identificar P(x, y) = x^2 y + e^x^2 e Q(x, y) = x^33 + e^cos y e no nosso campo :

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(x^33 + e^cos y) = x^2 + 0 = x^2
partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 y + e^x^2) = x^2 + 0 = x^2

Passo 5

Vemos que:
partial Qpartial x = partial Ppartial y = x^2
Como as derivadas parciais são iguais, o campo é realmente conservativo.

Passo 6

Para calcular a integral de linha em um campo conservativo ao longo de uma curva fechada ointC F cdot dr = 0 , sabemos que:
Isso ocorre porque o deslocamento total em uma curva fechada é zero em um campo conservativo.

Resposta

integralC F cdot dr = 0

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