(2,0): Dado o campo vetorial
calcule a integral de linha
, onde
é curva parametrizada por
,
.
Dica: Mostre quc
ć um campo conscrvativo.
Dica: Mostre quc
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
parametrizada por
onde
. Para resolver isso, vamos verificar se
é um campo conservativo, o que simplifica bastante o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Isso significa que:
Uma condição importante para que
seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo
:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Vemos que:
Como as derivadas parciais são iguais, o campo
é realmente conservativo.
Passo 6
Para calcular a integral de linha em um campo conservativo ao longo de uma curva fechada
, sabemos que:
Isso ocorre porque o deslocamento total em uma curva fechada é zero em um campo conservativo.