(2,0): Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
-
e
consiste no arco da curva
de
a
e o segmento de reta de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha
. A força
é dada por
. A curva
é formada por duas partes: o arco da curva
que vai de
até
e depois o segmento de reta de
de volta para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e verificar a orientação da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no Teorema de Green. Ele basicamente relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área interna dessa curva. A fórmula é:
Aqui,
, e
é a região fechada pela curva
. Antes de aplicar o teorema, precisamos verificar se a curva está orientada no sentido anti-horário, que é a orientação padrão para usar o Teorema de Green.
Passo 3
Vamos verificar a orientação da curva
. A curva é composta pelo arco de
de
até
e depois retorna de
para
pelo segmento de reta. Isso forma um percurso fechado que, ao seguir o arco de
para a direita e depois voltar pelo eixo
, está orientado no sentido anti-horário. Então, estamos prontos para aplicar o Teorema de Green.
Passo 4
Agora, vamos identificar
e
na força
:
Segundo o Teorema de Green, precisamos calcular as derivadas parciais
e
:
Então, a diferença é:
Passo 5
Vamos agora definir a região
sobre a qual vamos integrar. A curva
envolve o arco de
de
a
e o segmento de reta de volta ao ponto inicial. Isso significa que
é a área entre a curva
e o eixo
(o segmento de reta), para
entre
e
.
Passo 6
Agora, vamos montar a integral dupla:
Para isso, precisamos estabelecer os limites de integração. Para
variando de
a
,
varia de
a
. Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 8
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Vamos separar as integrais:
Primeira parte:
Usamos integração por partes, onde
e
, então
e
.
Avaliando de
a
:
Multiplicando por 2:
Segunda parte:
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Avaliando de
a
:
Então, a integral total fica:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo. Faça também um esboço do gráfico destas soluções:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
(2,0): Dado o campo vetorial
calcule a integral de linha
, onde
é curva parametrizada por
,
.
Dica: Mostre quc ć um campo conscrvativo.
Dica: Mostre quc
Verifique que a função
é uma solucão de
em cada um dos intervalos
ou