(2,0): Use o teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
  • e consiste no arco da curva de a e o segmento de reta de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha . A força é dada por . A curva é formada por duas partes: o arco da curva que vai de até e depois o segmento de reta de de volta para . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e verificar a orientação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no Teorema de Green. Ele basicamente relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área interna dessa curva. A fórmula é:
Aqui, , e é a região fechada pela curva . Antes de aplicar o teorema, precisamos verificar se a curva está orientada no sentido anti-horário, que é a orientação padrão para usar o Teorema de Green.

Passo 3

Vamos verificar a orientação da curva . A curva é composta pelo arco de de até e depois retorna de para pelo segmento de reta. Isso forma um percurso fechado que, ao seguir o arco de para a direita e depois voltar pelo eixo , está orientado no sentido anti-horário. Então, estamos prontos para aplicar o Teorema de Green.

Passo 4

Agora, vamos identificar e na força :
Segundo o Teorema de Green, precisamos calcular as derivadas parciais e :
Então, a diferença é:

Passo 5

Vamos agora definir a região sobre a qual vamos integrar. A curva envolve o arco de de a e o segmento de reta de volta ao ponto inicial. Isso significa que é a área entre a curva e o eixo (o segmento de reta), para entre e .

Passo 6

Agora, vamos montar a integral dupla:
Para isso, precisamos estabelecer os limites de integração. Para variando de a , varia de a . Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a :
Vamos separar as integrais:
Primeira parte:
Usamos integração por partes, onde e , então e .
Avaliando de a :
Multiplicando por 2:
Segunda parte:
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Avaliando de a :
Então, a integral total fica:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo. Faça também um esboço do gráfico destas soluções:
a)
b)
c)
d)
(2,0): Dado o campo vetorial
calcule a integral de linha , onde é curva parametrizada por , .
Dica: Mostre quc ć um campo conscrvativo.
Verifique que a função é uma solucão de em cada um dos intervalos ou