(2,0): Use o teorema de Green para calcular integralC F cdot d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
  • F(x, y)=(e^-x+y^2) i+(e^-y+x^2) j e C consiste no arco da curva y=cos x de (-pi / 2,0) a (pi / 2,0) e o segmento de reta de (pi / 2,0) a (-pi / 2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, a gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha . A força é dada por . A curva é formada por duas partes: o arco da curva que vai de até e depois o segmento de reta de de volta para . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e verificar a orientação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no Teorema de Green. Ele basicamente relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área interna dessa curva. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Aqui, , e é a região fechada pela curva . Antes de aplicar o teorema, precisamos verificar se a curva está orientada no sentido anti-horário, que é a orientação padrão para usar o Teorema de Green.

Passo 3

Vamos verificar a orientação da curva . A curva é composta pelo arco de de até e depois retorna de para pelo segmento de reta. Isso forma um percurso fechado que, ao seguir o arco de para a direita e depois voltar pelo eixo , está orientado no sentido anti-horário. Então, estamos prontos para aplicar o Teorema de Green.

Passo 4

Agora, vamos identificar P(x, y) = e^-x + y^2 e Q(x, y) = e^-y + x^2 na força partial Qpartial x = partialpartial x(e^-y + x^2) = 2x :
partial Ppartial y = partialpartial y(e^-x + y^2) = 2y
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 2y
Segundo o Teorema de Green, precisamos calcular as derivadas parciais e :
Então, a diferença é:

Passo 5

Vamos agora definir a região sobre a qual vamos integrar. A curva envolve o arco de de a e o segmento de reta de volta ao ponto inicial. Isso significa que é a área entre a curva e o eixo (o segmento de reta), para entre e .

Passo 6

Agora, vamos montar a integral dupla:
integral duplaD (2x - 2y) , dx,dy
Para isso, precisamos estabelecer os limites de integração. Para integral-pi/2^pi/2 integral0^cos x (2x - 2y) , dy , dx variando de a , varia de a . Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^cos x (2x - 2y) , dy = 2x integral0^cos x dy - 2 integral0^cos x y , dy :
2x integral0^cos x dy = 2x (cos x - 0) = 2x cos x
Calculando cada parte:
-2 integral0^cos x y , dy = -2 [ y^22 ]0^cos x = - (cos x)^2
2x cos x - (cos x)^2
Então, a integral interna resulta em:

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a integral-pi/2^pi/2 ( 2x cos x - cos^2x ) , dx :
2 integral-pi/2^pi/2 x cos x , dx - integral-pi/2^pi/2 cos^2x , dx
Vamos separar as integrais:
integral x cos x , dx = x sin x - integral sin x , dx = x sin x + cos x + C
Primeira parte: [ x sin x + cos x ]-pi/2^pi/2 = ( pi2 cdot 1 + 0 ) - ( -pi2 cdot (-1) + 0 ) = pi2 - pi2 = pi
Usamos integração por partes, onde 2 cdot pi = 2pi e cos^2x = 1 + cos 2x2 , então integral cos^2x , dx = 12 integral (1 + cos 2x) , dx = x2 + sin 2x4 + C e [ x2 + sin 2x4 ]-pi/2^pi/2 = ( pi4 + 0 ) - ( -pi4 + 0 ) = pi2 .
2pi - pi2 = 4pi - pi2 = 3pi2
Avaliando de a :
Multiplicando por 2:
Segunda parte:
Usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Avaliando de a :
Então, a integral total fica:

Resposta

A integral é igual a .

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