(2,0): Use o Teorema de Green para calcular a área do quadrilátero com vértices nos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a área de um quadrilátero com os vértices em , , e usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green pode ser usado para calcular áreas e depois aplicar as coordenadas dos pontos para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para calcular a área usando o Teorema de Green, usamos a fórmula:
Aqui, é a trajetória que contorna a área que queremos calcular, e são as coordenadas dos pontos ao longo dessa trajetória.

Passo 3

Nosso quadrilátero é fechado e tem os vértices na ordem . Vamos listar as coordenadas desses pontos:
Vamos percorrer esses pontos na ordem para aplicar a fórmula do Teorema de Green.

Passo 4

Precisamos calcular e para cada segmento da trajetória.
Para cada segmento entre dois pontos e , calculamos:
E então:

Passo 5

Vamos calcular isso para cada segmento:
  1. De a :
  2. De a :
  3. De a :
  4. De a :

Passo 6

Agora, somamos todos os e os :

Passo 7

Aplicamos na fórmula do Teorema de Green:

Resposta

A área do quadrilátero é unidades quadradas.

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Para a equação diferencial
resolva o problema de valor inicial com cada uma das condições iniciais encontrando, em cada caso, o intervalo máximo de definição da solução:
a)
b)
Resolva a equação diferencial
e faça um esboço da família das soluções encontrada. Para cada uma das condições iniciais abaixo, resolva o problema de valor inicial correspondente, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
a)
b)
c)
Mostre que as funções e são ambas soluções do PVI
(2,0): Dado o campo vetorial
calcule a integral de linha , onde é curva parametrizada por , .
Dica: Mostre quc ć um campo conscrvativo.