(2,0): Use o Teorema de Green para calcular a área do quadrilátero com vértices nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a área de um quadrilátero com os vértices em
,
,
e
usando o Teorema de Green. Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green pode ser usado para calcular áreas e depois aplicar as coordenadas dos pontos para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para calcular a área
usando o Teorema de Green, usamos a fórmula:
Aqui,
é a trajetória que contorna a área que queremos calcular, e
são as coordenadas dos pontos ao longo dessa trajetória.
Passo 3
Nosso quadrilátero é fechado e tem os vértices na ordem
. Vamos listar as coordenadas desses pontos:
Vamos percorrer esses pontos na ordem para aplicar a fórmula do Teorema de Green.
Passo 4
Precisamos calcular
e
para cada segmento da trajetória.
Para cada segmento entre dois pontos
e
, calculamos:
E então:
Passo 5
Vamos calcular isso para cada segmento:
-
De
a : -
De
a : -
De
a : -
De
a :
Passo 6
Agora, somamos todos os
e os
:
Passo 7
Aplicamos na fórmula do Teorema de Green:
Resposta
A área do quadrilátero é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Para a equação diferencial
resolva o problema de valor inicial com cada uma das condições iniciais encontrando, em cada caso, o intervalo máximo de definição da solução:
a)
b)
a)
b)
Resolva a equação diferencial
e faça um esboço da família das soluções encontrada. Para cada uma das condições iniciais abaixo, resolva o problema de valor inicial correspondente, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Mostre que as funções
e
são ambas soluções do PVI
(2,0): Dado o campo vetorial
calcule a integral de linha
, onde
é curva parametrizada por
,
.
Dica: Mostre quc ć um campo conscrvativo.
Dica: Mostre quc