Resolva a equação diferencial
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo. Faça também um esboço do gráfico destas soluções:
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que relaciona e . Ela está no formato:
Nossa missão é resolver essa equação diferencial e encontrar as soluções para diferentes condições iniciais. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que permite reorganizar a equação para que todas as fiquem de um lado e todas as do outro. Vamos precisar integrar ambos os lados da equação depois de separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar para facilitar a separação. Dividindo ambos os lados por , temos:
Agora, a equação está no formato que permite separar as variáveis e .

Passo 3

Vamos separar as variáveis. Queremos que tudo que envolve fique de um lado e tudo que envolve fique do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Prontinho! Agora temos as variáveis separadas e podemos proceder para a integração.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Começando pelo lado esquerdo, que envolve :
Fazendo a substituição , então , a integral fica:
Agora, o lado direito, que envolve :
Aqui, fazemos a substituição , então ou . A integral se torna:

Passo 5

Agora, igualamos as integrais que calculamos:
Vamos simplificar e resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Onde é uma constante de integração também. Para facilitar, podemos reescrever isso como:
E então,
Finalmente, isolando :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar o valor da constante em cada caso.

a)

Substituímos e na equação:
Para que isso seja válido, precisamos que:
Assim, a solução particular é:

b)

Substituímos e :
Isso implica que:
Mas não tem solução real, já que o denominador nunca pode ser infinito. Portanto, é uma solução constante.

c)

Substituímos e :
Isso leva a:
Assim, a solução particular é:

d)

Substituímos e :
Isso implica:
Tomando o sinal negativo:
Assim, a solução particular é:

Resposta

As soluções correspondentes às condições iniciais são:
a) Para :
com intervalo de definição tal que .
b) Para :
é uma solução constante válida para todo .
c) Para :
com intervalo de definição tal que .
d) Para :
com intervalo de definição tal que .
Cada solução possui um intervalo onde a expressão dentro da raiz é positiva, garantindo que seja real. O gráfico de cada solução será uma curva que se comporta de acordo com essas restrições.

Exercícios relacionados

(2,0): Dado o campo vetorial
calcule a integral de linha , onde é curva parametrizada por , .
Dica: Mostre quc ć um campo conscrvativo.
Mostre que as funções e são ambas soluções do PVI
(2,0): Use o teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
  • e consiste no arco da curva de a e o segmento de reta de a .