Resolva a equação diferencial
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo. Faça também um esboço do gráfico destas soluções:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que relaciona
e
. Ela está no formato:
Nossa missão é resolver essa equação diferencial e encontrar as soluções para diferentes condições iniciais. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que permite reorganizar a equação para que todas as
fiquem de um lado e todas as
do outro. Vamos precisar integrar ambos os lados da equação depois de separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
para facilitar a separação. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, a equação está no formato que permite separar as variáveis
e
.
Passo 3
Vamos separar as variáveis. Queremos que tudo que envolve
fique de um lado e tudo que envolve
fique do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Prontinho! Agora temos as variáveis separadas e podemos proceder para a integração.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Começando pelo lado esquerdo, que envolve
:
Fazendo a substituição
, então
, a integral fica:
Agora, o lado direito, que envolve
:
Aqui, fazemos a substituição
, então
ou
. A integral se torna:
Passo 5
Agora, igualamos as integrais que calculamos:
Vamos simplificar e resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Onde
é uma constante de integração também. Para facilitar, podemos reescrever isso como:
E então,
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar o valor da constante
em cada caso.
a)
Substituímos
e
na equação:
Para que isso seja válido, precisamos que:
Assim, a solução particular é:
b)
Substituímos
e
:
Isso implica que:
Mas
não tem solução real, já que o denominador nunca pode ser infinito. Portanto,
é uma solução constante.
c)
Substituímos
e
:
Isso leva a:
Assim, a solução particular é:
d)
Substituímos
e
:
Isso implica:
Tomando o sinal negativo:
Assim, a solução particular é:
Resposta
As soluções correspondentes às condições iniciais são:
a) Para
:
com intervalo de definição tal que
.
b) Para
:
é uma solução constante válida para todo
.
c) Para
:
com intervalo de definição tal que
.
d) Para
:
com intervalo de definição tal que
.
Cada solução possui um intervalo onde a expressão dentro da raiz é positiva, garantindo que
seja real. O gráfico de cada solução será uma curva que se comporta de acordo com essas restrições.
Exercícios relacionados
(2,0): Dado o campo vetorial
calcule a integral de linha
, onde
é curva parametrizada por
,
.
Dica: Mostre quc ć um campo conscrvativo.
Dica: Mostre quc
Mostre que as funções
e
são ambas soluções do PVI
(2,0): Use o teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
-
e consiste no arco da curva de a e o segmento de reta de a .