Mostre que as funções y(t) = 0 e y(t) = t^2 / 4 são ambas soluções do PVI
y' = raiz(y) ; y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que as funções e são soluções do Problema de Valor Inicial (PVI):
Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, como derivadas e substituição nas equações. Vamos verificar se cada função atende tanto à equação diferencial quanto à condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a função .
Passo 2.1: Calcular a derivada de .
A derivada de uma constante é zero, então:
Passo 2.2: Substituir e na equação diferencial .
Isso mostra que a equação diferencial é satisfeita.
Passo 2.3: Verificar a condição inicial .
Está certinho!

Passo 3

Agora, vamos verificar a função .
Passo 3.1: Calcular a derivada de .
Usando a regra da potência:
Passo 3.2: Substituir e na equação diferencial .
Primeiro, calcular :
Como estamos lidando com uma solução no contexto de PVI, assumimos , então . Logo:
Agora, comparar com :
A equação diferencial é satisfeita.
Passo 3.3: Verificar a condição inicial .
Tudo certo!

Resposta

As funções e satisfazem tanto a equação diferencial quanto a condição inicial , portanto, são soluções do PVI.

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