Mostre que as funções e são ambas soluções do PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que as funções e são soluções do Problema de Valor Inicial (PVI): Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, como derivadas e substituição nas equações. Vamos verificar se cada função atende tanto à equação diferencial quanto à condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a função . **Passo 2.1:** Calcular a derivada de . A derivada de uma constante é zero, então: **Passo 2.2:** Substituir e na equação diferencial . Isso mostra que a equação diferencial é satisfeita. **Passo 2.3:** Verificar a condição inicial . Está certinho!

Passo 3

Agora, vamos verificar a função . **Passo 3.1:** Calcular a derivada de . Usando a regra da potência: **Passo 3.2:** Substituir e na equação diferencial . Primeiro, calcular : Como estamos lidando com uma solução no contexto de PVI, assumimos , então . Logo: Agora, comparar com : A equação diferencial é satisfeita. **Passo 3.3:** Verificar a condição inicial . Tudo certo!

Resposta

As funções e satisfazem tanto a equação diferencial quanto a condição inicial , portanto, são soluções do PVI.

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