Mostre que as funções e são ambas soluções do PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que as funções e são soluções do Problema de Valor Inicial (PVI):
Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, como derivadas e substituição nas equações. Vamos verificar se cada função atende tanto à equação diferencial quanto à condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a função .
**Passo 2.1:** Calcular a derivada de .
A derivada de uma constante é zero, então:
**Passo 2.2:** Substituir e na equação diferencial .
Isso mostra que a equação diferencial é satisfeita.
**Passo 2.3:** Verificar a condição inicial .
Está certinho!
Passo 3
Agora, vamos verificar a função .
**Passo 3.1:** Calcular a derivada de .
Usando a regra da potência:
**Passo 3.2:** Substituir e na equação diferencial .
Primeiro, calcular :
Como estamos lidando com uma solução no contexto de PVI, assumimos , então . Logo:
Agora, comparar com :
A equação diferencial é satisfeita.
**Passo 3.3:** Verificar a condição inicial .
Tudo certo!
Resposta
As funções e satisfazem tanto a equação diferencial quanto a condição inicial , portanto, são soluções do PVI.
Exercícios relacionados
(2,0): Use o Teorema de Green para calcular a área do quadrilátero com vértices nos pontos e .
Para a equação diferencial
resolva o problema de valor inicial com cada uma das condições iniciais encontrando, em cada caso, o intervalo máximo de definição da solução:
a)
b)
(2,0): Dado o campo vetorial
calcule a integral de linha , onde é curva parametrizada por , .
Dica: Mostre quc ć um campo conscrvativo.