Mostre que as funções
e
são ambas soluções do PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que as funções
e
são soluções do Problema de Valor Inicial (PVI):
Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, como derivadas e substituição nas equações. Vamos verificar se cada função atende tanto à equação diferencial quanto à condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a função
.
Passo 2.1: Calcular a derivada de
.
A derivada de uma constante é zero, então:
Passo 2.2: Substituir
e
na equação diferencial
.
Isso mostra que a equação diferencial é satisfeita.
Passo 2.3: Verificar a condição inicial
.
Está certinho!
Passo 3
Agora, vamos verificar a função
.
Passo 3.1: Calcular a derivada de
.
Usando a regra da potência:
Passo 3.2: Substituir
e
na equação diferencial
.
Primeiro, calcular
:
Como estamos lidando com uma solução no contexto de PVI, assumimos
, então
. Logo:
Agora, comparar com
:
A equação diferencial é satisfeita.
Passo 3.3: Verificar a condição inicial
.
Tudo certo!
Resposta
As funções
e
satisfazem tanto a equação diferencial
quanto a condição inicial
, portanto, são soluções do PVI.