Determinar a evolvente de um círculo de raio .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a evolvente de um círculo de raio . A matéria que a gente vai precisar aqui é um pouco de geometria diferencial, especificamente o conceito de evolvente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma evolvente e como ela se relaciona com o círculo dado.

Passo 2

Primeiro, o que é uma evolvente? Imagine que você tem uma curva, como um círculo, e em cada ponto dessa curva você traça a reta normal (a linha que é perpendicular à curva naquele ponto). A evolvente é o conjunto de todos os pontos onde essas retas normais se interceptam. Em outras palavras, é o lugar geométrico de todos os centros de curvatura da curva original.

Passo 3

Agora, vamos pensar no nosso círculo de raio . Qual é o centro de curvatura de um círculo? No caso de um círculo, o centro de curvatura é sempre o próprio centro do círculo, porque em todo ponto da circunferência, a reta normal passa exatamente pelo centro.

Passo 4

Como o círculo tem um raio constante, todos os centros de curvatura são o mesmo ponto, que é o centro do círculo. Não importa onde você escolha o ponto na circunferência, a normal sempre vai apontar para o centro. Então, todos os pontos da evolvente coincidem nesse único ponto central.

Resposta

A evolvente do círculo de raio é o próprio ponto central do círculo. Ou seja, constitui-se por um ponto fixo localizado no centro do círculo.

Exercícios relacionados

Sobre a equação ; é afirmar que:
a Eौa é exata e é uma solução.
b nenhuma das demais alternativas
c] Ela não é exata, mas é uma solução.
Ela não é exata, mas é uma solução.
e. Eláé exata e é uma solução
Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(b) A equação da superfície esférica centrada em e tem raio .
Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo . Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo .
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(b) .