Uma função
f: U subset R^n -> R
é dita radial se existir uma função
g: R+ -> R
tal que
f(X) = g(r), para todo X = (x1, ..., xn) em R^n, onde r = ||X||_E
(d) Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
triangle f = 0
para as funções radiais em cada caso seguinte:
ii. No R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial das funções harmônicas, ou seja, , para funções radiais no espaço tridimensional . Funções radiais dependem apenas da distância do ponto à origem. Para isso, vamos usar algumas ideias de cálculo em coordenadas esféricas e entender como é o Laplaciano nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com uma função radial, podemos escrever , onde . Nosso objetivo é encontrar a forma de que satisfaz a equação .

Passo 3

Vamos lembrar que o Laplaciano em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas de é dado por:
Como , temos:
Multiplicando ambos os lados por , simplificamos para:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração. Agora, isolamos :
Integrando novamente:
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral das funções radiais harmônicas em é dada por:
Onde e são constantes reais.

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