Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
(d) Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
para as funções radiais em cada caso seguinte:
ii. No .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial das funções harmônicas, ou seja, , para funções radiais no espaço tridimensional . Funções radiais dependem apenas da distância do ponto à origem. Para isso, vamos usar algumas ideias de cálculo em coordenadas esféricas e entender como é o Laplaciano nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com uma função radial, podemos escrever , onde . Nosso objetivo é encontrar a forma de que satisfaz a equação .

Passo 3

Vamos lembrar que o Laplaciano em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas de é dado por:
Como , temos:
Multiplicando ambos os lados por , simplificamos para:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração. Agora, isolamos :
Integrando novamente:
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral das funções radiais harmônicas em é dada por:
Onde e são constantes reais.

Exercícios relacionados

Considere a funação onde , simplifique:
Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo . Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo .
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
© .
Simplifique nos casos abaixo
, onde .
pontos) .