Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
(d) Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
para as funções radiais em cada caso seguinte:
ii. No
.
ii. No
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial das funções harmônicas, ou seja,
, para funções radiais no espaço tridimensional
. Funções radiais dependem apenas da distância do ponto à origem. Para isso, vamos usar algumas ideias de cálculo em coordenadas esféricas e entender como é o Laplaciano nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, como estamos lidando com uma função radial, podemos escrever
, onde
. Nosso objetivo é encontrar a forma de
que satisfaz a equação
.
Passo 3
Vamos lembrar que o Laplaciano em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas de
é dado por:
Como
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
, simplificamos para:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração. Agora, isolamos
:
Integrando novamente:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral das funções radiais harmônicas em
é dada por:
Onde
e
são constantes reais.
Exercícios relacionados
Considere a funação
onde
, simplifique:
Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo
. Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo
.
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
© .
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
©
Simplifique
nos casos abaixo
, onde
.