Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo . Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo .
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a família de curvas integrais para o campo vetorial no plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre curvas integrais de campos vetoriais. Precisamos resolver as equações diferenciais que relacionam o campo vetorial com a derivada da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva integral. Uma curva integral satisfaz a condição para todo no intervalo considerado. Isso significa que a derivada da curva é igual ao vetor do campo avaliado na curva .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso campo vetorial , temos:
Isso resulta em duas equações diferenciais:

Passo 4

Vamos resolver essas equações diferenciais separadamente.
Para :
Para :
Aqui, e são constantes de integração.

Passo 5

Agora, para encontrar a relação entre e , eliminamos o parâmetro . Observamos que:
Substituindo em :
Denotando , temos:

Passo 6

A equação representa uma família de retas que passam pela origem. Cada valor de define uma reta com inclinação diferente. Geometricamente, essas retas são chamadas de linhas de fluxo ou linhas de ação do campo vetorial .

Resposta

A família de curvas integrais do campo vetorial consiste em todas as retas que passam pela origem, descritas por , onde é uma constante real. Geometricamente, são linhas retas que saem ou entram na origem dependendo do valor de .

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