Sejam três funções onde:
Determine:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três funções dadas: , e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a composição da função com ela mesma, ou seja, . Para isso, vamos usar o conceito de composição de funções, que basicamente significa que a gente vai passar o resultado de uma função como entrada para a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que vamos calcular . Então, a gente precisa substituir a própria função dentro dela.

Passo 3

Vamos começar calculando , que já está definida como:

Passo 4

Agora, vamos usar esse resultado como entrada para a função novamente. Então, substituímos por na expressão de :

Passo 5

Vamos substituir na fórmula acima:

Passo 6

Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:

Passo 7

Agora, colocamos o numerador e o denominador de volta na fração:
Isso é o mesmo que multiplicar o numerador pela inversa do denominador:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Podemos deixar essa fração assim ou, se preferir, multiplicar os termos no numerador:

Resposta

A composição é:

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Sejam três funções onde:
Determine:
Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo . Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo .
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(a) .
Exercício 1.2.2 Considere os conjuntos . Faça cada uma das operações desejadas: , , , .