Exercício 1.2.3 Considere os conjuntos A = ]-1,5[, B = ]-infinito, 5], C = [-1, infinito[ D = [-1, 5]. Faça cada uma das operações desejadas: A ∩ B, A ∪ B, A ∩ C, A ∪ C, A ∩ D, A ∪ D, B ∩ C, B ∪ C, B ∩ D, B ∪ D, C ∩ D, C ∪ D, A ∩ B ∩ C, A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ D, A ∪ B ∪ D, A ∩ C ∩ D, A ∪ C ∪ D, A - B, B - A, A - C, C - A, A - D, D - A, B - C, C - B, B - D, D - B, C - D, D - C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de operações com conjuntos. A gente vai trabalhar com os conjuntos , , e definidos assim:
  • (todos os números maiores que -1 e menores que 5)
  • (todos os números até 5, incluindo o 5)
  • (todos os números a partir de -1, incluindo o -1)
  • (todos os números de -1 a 5, incluindo ambos)
Vamos precisar entender o que são união ( ), interseção ( ) e diferença de conjuntos ( ). A união de dois conjuntos reúne todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. A interseção pega só os elementos que estão nos dois conjuntos. A diferença, por sua vez, pega os elementos que estão no primeiro conjunto mas não no segundo.

Passo 2

Vamos começar com . Isso significa pegar os números que estão tanto em quanto em .
Explicação:
  • e .
  • Todos os números em já estão em , porque inclui todos os números menores ou iguais a 5.
Então:

Passo 3

Agora, é a união de e , ou seja, todos os números que estão em ou em .
Explicação:
  • já inclui todos os números de e mais alguns (até ).
Então:

Passo 4

Vamos para . Queremos os números que estão tanto em quanto em .
Explicação:
  • e .
  • A interseção será de a 5, mas não inclui o -1.
Então:

Passo 5

Agora, é a união de e .
Explicação:
  • inclui todos os números a partir de -1, e vai de -1 a 5.
  • Então a união vai de -1 até .
Então:

Passo 6

Vamos para , a interseção de e .
Explicação:
  • e .
  • Os números que estão em ambos são de -1 a 5, excluindo -1 e 5 (já que não inclui esses pontos).
Então:

Passo 7

Agora, é a união de e .
Explicação:
  • inclui todos os números de -1 a 5, incluindo esses extremos.
  • já está dentro de , então a união é igual a .
Então:

Passo 8

Vamos para , a interseção de e .
Explicação:
  • e .
  • A interseção é de -1 a 5, já que começa em -1 e vai até 5.
Então:

Passo 9

Agora, é a união de e .
Explicação:
  • cobre até 5 e começa em -1 e vai até .
  • A união cobre toda a linha real, já que há sobreposição.
Então:

Passo 10

Vamos para , a interseção de e .
Explicação:
  • e .
  • A interseção é de -1 a 5.
Então:

Passo 11

Agora, é a união de e .
Explicação:
  • já inclui todos os números até 5, e vai de -1 a 5.
  • A união continua sendo , já que abrange .
Então:

Passo 12

Vamos para , a interseção de e .
Explicação:
  • e .
  • A interseção é de -1 a 5.
Então:

Passo 13

Agora, é a união de e .
Explicação:
  • vai de -1 até , e vai de -1 a 5.
  • A união continua sendo , já que abrange .
Então:

Passo 14

Vamos resolver , a interseção dos três conjuntos.
Explicação:
  • Já vimos que .
  • Agora, intersectando com , permanece .
Então:

Passo 15

Agora, é a união dos três conjuntos.
Explicação:
  • (toda a linha real).
  • A união com mantém toda a linha real.
Então:

Passo 16

Vamos para , a interseção de , e .
Explicação:
  • e .
  • A interseção final é .
Então:

Passo 17

Agora, é a união de , e .
Explicação:
  • , e está dentro disso.
  • Então a união continua sendo .
Então:

Passo 18

Vamos para , a interseção de , e .
Explicação:
  • e .
  • A interseção final é .
Então:

Passo 19

Agora, é a união de , e .
Explicação:
  • , e está dentro disso.
  • Então a união continua sendo .
Então:

Passo 20

Vamos resolver , a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Todos os elementos de também estão em , então não sobra nada.
Então:

Passo 21

Agora, é a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Removendo os elementos de de , ficamos com .
Então:

Passo 22

Vamos para , a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Todos os elementos de estão em , então não sobra nada.
Então:

Passo 23

Agora, é a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Removendo os elementos de de , ficamos com .
Então:

Passo 24

Vamos resolver , a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Todos os elementos de estão em , então não sobra nada.
Então:

Passo 25

Agora, é a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Removendo os elementos de de , fiquem os pontos -1 e 5.
Então:

Passo 26

Vamos para , a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Removendo os elementos de de , ficamos com .
Então:

Passo 27

Agora, é a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Removendo os elementos de de , ficamos com .
Então:

Passo 28

Vamos resolver , a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Removendo os elementos de de , ficamos com .
Então:

Passo 29

Agora, é a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Todos os elementos de estão em , então não sobra nada.
Então:

Passo 30

Vamos para , a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Removendo os elementos de de , ficamos com .
Então:

Passo 31

Por fim, é a diferença entre e .
Explicação:
  • e .
  • Todos os elementos de estão em , então não sobra nada.
Então:

Resposta

Todas as operações foram resolvidas conforme acima.

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