Exercício 1.2.3 Considere os conjuntos
. Faça cada uma das operações desejadas:
,
,
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de operações com conjuntos. A gente vai trabalhar com os conjuntos
,
,
e
definidos assim:
-
(todos os números maiores que -1 e menores que 5) -
(todos os números até 5, incluindo o 5) -
(todos os números a partir de -1, incluindo o -1) -
(todos os números de -1 a 5, incluindo ambos)
Vamos precisar entender o que são união (
), interseção (
) e diferença de conjuntos (
). A união de dois conjuntos reúne todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. A interseção pega só os elementos que estão nos dois conjuntos. A diferença, por sua vez, pega os elementos que estão no primeiro conjunto mas não no segundo.
Passo 2
Vamos começar com
. Isso significa pegar os números que estão tanto em
quanto em
.
Explicação:
-
e . - Todos os números em
já estão em , porque inclui todos os números menores ou iguais a 5.
Então:
Passo 3
Agora,
é a união de
e
, ou seja, todos os números que estão em
ou em
.
Explicação:
-
já inclui todos os números de e mais alguns (até ).
Então:
Passo 4
Vamos para
. Queremos os números que estão tanto em
quanto em
.
Explicação:
-
e . - A interseção será de
a 5, mas não inclui o -1.
Então:
Passo 5
Agora,
é a união de
e
.
Explicação:
-
inclui todos os números a partir de -1, e vai de -1 a 5. - Então a união vai de -1 até
.
Então:
Passo 6
Vamos para
, a interseção de
e
.
Explicação:
-
e . - Os números que estão em ambos são de -1 a 5, excluindo -1 e 5 (já que
não inclui esses pontos).
Então:
Passo 7
Agora,
é a união de
e
.
Explicação:
-
inclui todos os números de -1 a 5, incluindo esses extremos. -
já está dentro de , então a união é igual a .
Então:
Passo 8
Vamos para
, a interseção de
e
.
Explicação:
-
e . - A interseção é de -1 a 5, já que
começa em -1 e vai até 5.
Então:
Passo 9
Agora,
é a união de
e
.
Explicação:
-
cobre até 5 e começa em -1 e vai até . - A união cobre toda a linha real, já que há sobreposição.
Então:
Passo 10
Vamos para
, a interseção de
e
.
Explicação:
-
e . - A interseção é de -1 a 5.
Então:
Passo 11
Agora,
é a união de
e
.
Explicação:
-
já inclui todos os números até 5, e vai de -1 a 5. - A união continua sendo
, já que abrange .
Então:
Passo 12
Vamos para
, a interseção de
e
.
Explicação:
-
e . - A interseção é de -1 a 5.
Então:
Passo 13
Agora,
é a união de
e
.
Explicação:
-
vai de -1 até , e vai de -1 a 5. - A união continua sendo
, já que abrange .
Então:
Passo 14
Vamos resolver
, a interseção dos três conjuntos.
Explicação:
- Já vimos que
. - Agora, intersectando com
, permanece .
Então:
Passo 15
Agora,
é a união dos três conjuntos.
Explicação:
-
(toda a linha real). - A união com
mantém toda a linha real.
Então:
Passo 16
Vamos para
, a interseção de
,
e
.
Explicação:
-
e . - A interseção final é
.
Então:
Passo 17
Agora,
é a união de
,
e
.
Explicação:
-
, e está dentro disso. - Então a união continua sendo
.
Então:
Passo 18
Vamos para
, a interseção de
,
e
.
Explicação:
-
e . - A interseção final é
.
Então:
Passo 19
Agora,
é a união de
,
e
.
Explicação:
-
, e está dentro disso. - Então a união continua sendo
.
Então:
Passo 20
Vamos resolver
, a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Todos os elementos de
também estão em , então não sobra nada.
Então:
Passo 21
Agora,
é a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Removendo os elementos de
de , ficamos com .
Então:
Passo 22
Vamos para
, a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Todos os elementos de
estão em , então não sobra nada.
Então:
Passo 23
Agora,
é a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Removendo os elementos de
de , ficamos com .
Então:
Passo 24
Vamos resolver
, a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Todos os elementos de
estão em , então não sobra nada.
Então:
Passo 25
Agora,
é a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Removendo os elementos de
de , fiquem os pontos -1 e 5.
Então:
Passo 26
Vamos para
, a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Removendo os elementos de
de , ficamos com .
Então:
Passo 27
Agora,
é a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Removendo os elementos de
de , ficamos com .
Então:
Passo 28
Vamos resolver
, a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Removendo os elementos de
de , ficamos com .
Então:
Passo 29
Agora,
é a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Todos os elementos de
estão em , então não sobra nada.
Então:
Passo 30
Vamos para
, a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Removendo os elementos de
de , ficamos com .
Então:
Passo 31
Por fim,
é a diferença entre
e
.
Explicação:
-
e . - Todos os elementos de
estão em , então não sobra nada.
Então:
Resposta
Todas as operações foram resolvidas conforme acima.