Dado o campo vetorial F=3 x^2 i+2 y j+z^2 k, calcule a integral de linha de F ao longo de uma curva C que vai do ponto A(1,0,0) até o ponto B(0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva r(t) = (1 - t)A + tB . Como a curva não foi especificada, vamos escolher uma que seja fácil de trabalhar. Uma opção comum é fazer uma linha reta entre os pontos r(t) = (1 - t)(1, 0, 0) + t(0, 1, 1) = (1 - t, t, t) e .
Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1, onde:
  • Quando , estamos no ponto .
  • Quando , chegamos ao ponto .
A parametrização da linha reta fica assim:
Substituindo os pontos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização r,'(t) = ddt(1 - t, t, t) = (-1, 1, 1) em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva:

Passo 4

A próxima etapa é substituir a parametrização da curva no campo vetorial F(r(t)) = 3(1 - t)^2 i + 2t j + t^2 k . Isso significa substituir , e por , e , respectivamente:

Passo 5

Agora, multiplicamos o campo vetorial parametrizado pelo vetor derivada F(r(t)) cdot r,'(t) = 3(1 - t)^2 times (-1) + 2t times 1 + t^2 times 1 usando o produto escalar:
= -3(1 - t)^2 + 2t + t^2
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, calculamos a integral de integral0^1 [ -3(1 - t)^2 + 2t + t^2 ] dt até = -3 integral0^1 (1 - 2t + t^2) dt + 2 integral0^1 t dt + integral0^1 t^2 dt :
-3 [ t - t^2 + t^33 ]0^1 + 2 [ t^22 ]0^1 + [ t^33 ]0^1
Vamos integrar termo a termo:
-3 (1 - 1 + 13) + 2 (12) + 13
Calculando cada integral:
-3 times 13 + 1 + 13 = -1 + 1 + 13 = 13
Substituindo os limites:
Simplificando:

Resposta

A integral de linha de ao longo da curva de até é .

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