Dado o campo vetorial , calcule a integral de linha de ao longo de uma curva que vai do ponto até o ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva que vai do ponto até o ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como a curva não foi especificada, vamos escolher uma que seja fácil de trabalhar. Uma opção comum é fazer uma linha reta entre os pontos e .
Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1, onde:
  • Quando , estamos no ponto .
  • Quando , chegamos ao ponto .
A parametrização da linha reta fica assim:
Substituindo os pontos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva:

Passo 4

A próxima etapa é substituir a parametrização da curva no campo vetorial . Isso significa substituir , e por , e , respectivamente:

Passo 5

Agora, multiplicamos o campo vetorial parametrizado pelo vetor derivada usando o produto escalar:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, calculamos a integral de até :
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Resposta

A integral de linha de ao longo da curva de até é .

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b- O módulo do vetor .
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Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Para as exatas, encontre a solução. ;