Dado o campo vetorial
, calcule a integral de linha de
ao longo de uma curva
que vai do ponto
até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
que vai do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como a curva não foi especificada, vamos escolher uma que seja fácil de trabalhar. Uma opção comum é fazer uma linha reta entre os pontos
e
.
Vamos definir um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde:
- Quando
, estamos no ponto . - Quando
, chegamos ao ponto .
A parametrização da linha reta fica assim:
Substituindo os pontos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização
em relação a
, que nos dá o vetor tangente à curva:
Passo 4
A próxima etapa é substituir a parametrização da curva no campo vetorial
. Isso significa substituir
,
e
por
,
e
, respectivamente:
Passo 5
Agora, multiplicamos o campo vetorial parametrizado pelo vetor derivada
usando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, calculamos a integral de
até
:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Resposta
A integral de linha de
ao longo da curva
de
até
é
.