Dado um campo vetorial H=y z i+x z j+x y k, determine o rotacional de H e verifique o valor da integral de superfície de (nabla times H) sobre uma superfície quadrada S delimitada pelos vértices (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0), e (0,1,0). Considere que o vetor normal à superfície aponta para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o rotacional do campo vetorial H = y z i + x z j + x y k e depois calcular a integral de superfície desse rotacional sobre um quadrado no plano z=0 com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (0,1,0). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o rotacional e integrais de superfície. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por nabla times H, mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto. Para calcular o rotacional, usamos a seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:
nabla times H = ( partial Hzpartial y - partial Hypartial z ) i + ( partial Hxpartial z - partial Hzpartial x ) j + ( partial Hypartial x - partial Hxpartial y ) k
Vamos identificar as componentes de H:
Hx = y z, Hy = x z, Hz = x y
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional.

Passo 3

Calculando a componente i:
partial Hzpartial y = partial (x y)partial y = x
partial Hypartial z = partial (x z)partial z = x
Então,
( partial Hzpartial y - partial Hypartial z ) = x - x = 0

Passo 4

Calculando a componente j:
partial Hxpartial z = partial (y z)partial z = y
partial Hzpartial x = partial (x y)partial x = y
Então,
( partial Hxpartial z - partial Hzpartial x ) = y - y = 0

Passo 5

Calculando a componente k:
partial Hypartial x = partial (x z)partial x = z
partial Hxpartial y = partial (y z)partial y = z
Então,
( partial Hypartial x - partial Hxpartial y ) = z - z = 0

Passo 6

Juntando todas as componentes, temos:
nabla times H = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Isso significa que o rotacional do campo vetorial H é o vetor nulo.

Passo 7

Agora, queremos calcular a integral de superfície de nabla times H sobre o quadrado S. A integral de superfície de um campo vetorial F é dada por:
integral duplaS F cdot dS
Onde dS é o vetor área da superfície. No nosso caso, como o rotacional é zero:
integral duplaS nabla times H cdot dS = integral duplaS 0 cdot dS = 0
Isso significa que a integral de superfície do rotacional de H sobre o quadrado S é zero.

Resposta

integral duplaS (nabla times H) cdot dS = 0

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