Dado um campo vetorial
, determine o rotacional de
e verifique o valor da integral de superfície de
sobre uma superfície quadrada
delimitada pelos vértices
, e
. Considere que o vetor normal à superfície aponta para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o rotacional do campo vetorial
e depois calcular a integral de superfície desse rotacional sobre um quadrado no plano
com vértices em
,
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o rotacional e integrais de superfície. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto. Para calcular o rotacional, usamos a seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional.
Passo 3
Calculando a componente
:
Então,
Passo 4
Calculando a componente
:
Então,
Passo 5
Calculando a componente
:
Então,
Passo 6
Juntando todas as componentes, temos:
Isso significa que o rotacional do campo vetorial
é o vetor nulo.
Passo 7
Agora, queremos calcular a integral de superfície de
sobre o quadrado
. A integral de superfície de um campo vetorial
é dada por:
Onde
é o vetor área da superfície. No nosso caso, como o rotacional é zero:
Isso significa que a integral de superfície do rotacional de
sobre o quadrado
é zero.