Dado o campo vetorial F(x,y,z)= 2xy i+yz^2 j+ln z k calcule seu rotacional

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcular o rotacional do campo vetorial $ \mathbf{F}(x,y,z) = 2xy,\mathbf{i} + yz^2,\mathbf{j} + \ln z,\mathbf{k} $. Isso está dentro do estudo do cálculo vetorial, especificamente sobre o rotacional de um campo vetorial. Para resolver, vamos usar a definição do rotacional que envolve derivadas parciais das componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a fórmula do rotacional de um campo vetorial $ \mathbf{F} = P,\mathbf{i} + Q,\mathbf{j} + R,\mathbf{k} $:
F = P,i + Q,j + R,k
Isso significa que vamos calcular essas derivadas parciais para achar cada componente do rotacional.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo $ \mathbf{F} $:
  • $ P = 2xy $
  • $ Q = yz^2 $
  • $ R = \ln z $
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária:
  1. $ \frac{\partial R}{\partial y} $:
    F
    Porque $ \ln z $ não depende de $ y $.
  2. $ \frac{\partial Q}{\partial z} $:
    P = 2xy
  3. $ \frac{\partial P}{\partial z} $:
    Q = yz^2
    Porque $ 2xy $ não depende de $ z $.
  4. $ \frac{\partial R}{\partial x} $:
    R = ln z
    Porque $ \ln z $ não depende de $ x $.
  5. $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
    partial Rpartial y
    Porque $ yz^2 $ não depende de $ x $.
  6. $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
    partialpartial y (ln z) = 0

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times F = ( 0 - 2yz )i + ( 0 - 0 )j + ( 0 - 2x )k
Simplificando os termos, fica:
nabla times F = -2yz,i + 0,j - 2x,k

Resposta

O rotacional do campo vetorial $ \mathbf{F} $ é:
F

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