Dado o campo vetorial F(x,y,z)= 2xy i+yz^2 j+ln z k calcule seu rotacional
Passo 1
Beleza! O exercício pede para calcular o rotacional do campo vetorial $ \mathbf{F}(x,y,z) = 2xy,\mathbf{i} + yz^2,\mathbf{j} + \ln z,\mathbf{k} $. Isso está dentro do estudo do cálculo vetorial, especificamente sobre o rotacional de um campo vetorial. Para resolver, vamos usar a definição do rotacional que envolve derivadas parciais das componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a fórmula do rotacional de um campo vetorial $ \mathbf{F} = P,\mathbf{i} + Q,\mathbf{j} + R,\mathbf{k} $:
Isso significa que vamos calcular essas derivadas parciais para achar cada componente do rotacional.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do campo $ \mathbf{F} $:
- $ P = 2xy $
- $ Q = yz^2 $
- $ R = \ln z $
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária:
-
$ \frac{\partial R}{\partial y} $:Porque $ \ln z $ não depende de $ y $.
-
$ \frac{\partial Q}{\partial z} $:
-
$ \frac{\partial P}{\partial z} $:Porque $ 2xy $ não depende de $ z $.
-
$ \frac{\partial R}{\partial x} $:Porque $ \ln z $ não depende de $ x $.
-
$ \frac{\partial Q}{\partial x} $:Porque $ yz^2 $ não depende de $ x $.
-
$ \frac{\partial P}{\partial y} $:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando os termos, fica:
Resposta
O rotacional do campo vetorial $ \mathbf{F} $ é: