Dado o campo vetorial
F(x, y, z)=(e^x^2+y^2 z^3) i+2 x y z^3 j+3 x y^2 z^2 k
calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é curva parametrizada por r(t)=e^sin t i+e^cos t j+pi k. 0 <= t <= 2 pi.
Dica: Mostre que F é um campo conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial e queremos calcular a integral de linha , onde a curva é parametrizada por para . A dica diz para mostrar que é um campo conservativo. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma característica importante de campos conservativos é que o rotacional de é zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fkpartial y - partial Fjpartial z ) i + ( partial Fipartial z - partial Fkpartial x ) j + ( partial Fjpartial x - partial Fipartial y ) k . Lembrando que:
partial Fkpartial y = partialpartial y(3xy^2 z^2) = 6xyz^2
Vamos calcular cada componente:
  • Componente partial Fjpartial z = partialpartial z(2xyz^3) = 6xyz^2 :
    partial Fipartial z = partialpartial z(e^x^2 + y^2 z^3) = 3y^2z^2
    partial Fkpartial x = partialpartial x(3xy^2 z^2) = 3y^2 z^2
    Então, partial Fjpartial x = partialpartial x(2xyz^3) = 2yz^3
  • Componente partial Fipartial y = partialpartial y(e^x^2 + y^2 z^3) = 2yz^3 :
    Então,
  • Componente :
    Então,
Logo, . Isso mostra que é um campo conservativo.

Passo 4

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que . Além disso, sabemos que para integrais de linha de campos conservativos, a integral depende apenas dos pontos inicial e final da curva.
No nosso caso, a curva é fechada porque (já que e são funções periódicas com período ). Então, a integral de linha ao longo de uma curva fechada em um campo conservativo é zero.

Resposta

integralC F cdot dr = 0

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