Dado o campo vetorial
calcule a integral de linha
, onde
é curva parametrizada por
.
.
Dica: Mostre que F é um campo conservativo.
Dica: Mostre que F é um campo conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
e queremos calcular a integral de linha
, onde a curva
é parametrizada por
para
. A dica diz para mostrar que
é um campo conservativo. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma característica importante de campos conservativos é que o rotacional de
é zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Lembrando que:
Vamos calcular cada componente:
-
Componente
: Então, -
Componente
: Então, -
Componente
: Então,
Logo,
. Isso mostra que
é um campo conservativo.
Passo 4
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Além disso, sabemos que para integrais de linha de campos conservativos, a integral depende apenas dos pontos inicial e final da curva.
No nosso caso, a curva
é fechada porque
(já que
e
são funções periódicas com período
). Então, a integral de linha ao longo de uma curva fechada em um campo conservativo é zero.