Uma empresa vende um produto e a receita total, em reais, gerada pela venda de x unidades do produto é dada pela função:
R(x)=x * e^(x) - 3 * x^2
Determine a taxa de variação da receita total em relação à quantidade de produtos vendidos quando x = 4 unidades.
Obs.: Use que e^4 ≈ 54.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A empresa vende um produto e a receita total que ela gera com a venda de unidades é dada pela função:
O que a gente precisa descobrir é a taxa de variação dessa receita quando a empresa vende 4 unidades. Basicamente, queremos saber se a receita está aumentando ou diminuindo e quão rápido isso está acontecendo quando vendemos 4 unidades. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos dá exatamente essa taxa de variação que a gente quer. Então, vamos calcular .
A função é:
Vamos calcular a derivada de cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos derivar cada parte da função:
  1. Derivada de :
    Aqui, usamos a regra do produto, que diz que se temos uma função que é o produto de duas funções, e , a derivada é:
    No nosso caso, e . Então:
    Aplicando a regra:
  2. Derivada de :
    Aqui, usamos a regra da potência, que diz que:
    Aplicando isso:
Agora, juntando as derivadas dos dois termos:

Passo 4

Agora que temos a expressão da derivada, vamos substituir para encontrar a taxa de variação específica nesse ponto.
Substituindo:
Sabemos que , então:

Resposta

A taxa de variação da receita total quando unidades é aproximadamente 246 reais por unidade vendida.

Exercícios relacionados