Uma empresa vende um produto e a receita total, em reais, gerada pela venda de
unidades do produto é dada pela função:
Determine a taxa de variação da receita total em relação à quantidade de produtos vendidos quando
unidades.
Obs.: Use que
.
Obs.: Use que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A empresa vende um produto e a receita total que ela gera com a venda de
unidades é dada pela função:
O que a gente precisa descobrir é a taxa de variação dessa receita quando a empresa vende 4 unidades. Basicamente, queremos saber se a receita está aumentando ou diminuindo e quão rápido isso está acontecendo quando vendemos 4 unidades. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos dá exatamente essa taxa de variação que a gente quer. Então, vamos calcular
.
A função é:
Vamos calcular a derivada de cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos derivar cada parte da função:
-
Derivada de
: Aqui, usamos a regra do produto, que diz que se temos uma função que é o produto de duas funções,e , a derivada é: No nosso caso,e . Então: Aplicando a regra: -
Derivada de
: Aqui, usamos a regra da potência, que diz que:Aplicando isso:
Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
Passo 4
Agora que temos a expressão da derivada, vamos substituir
para encontrar a taxa de variação específica nesse ponto.
Substituindo:
Sabemos que
, então:
Resposta
A taxa de variação da receita total quando
unidades é aproximadamente 246 reais por unidade vendida.