Use o Teorema de Green para calcular a área do quadrilátero com vértices nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um quadrilátero com os vértices nos pontos
,
,
e
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas, e é muito útil para calcular áreas de formas planas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
Para calcular a área
da região
, podemos escolher funções
e
de forma que a expressão
seja igual a 1. Uma escolha comum é
e
, pois então:
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o caminho
que passa pelos pontos
,
,
, e
, voltando ao
. Vamos dividir
em quatro segmentos:
-
para -
para -
para -
para
Para cada segmento, vamos expressar
e
em termos de um parâmetro
e calcular as integrais correspondentes.
Passo 4
Vamos calcular a integral de cada segmento usando
e
.
-
De
para : -
, , onde varia de 0 a 1. -
, . - Integral:
.
-
-
De
para : -
, , onde varia de 0 a 3. -
, . - Integral:
.
-
-
De
para : -
, , onde varia de 0 a 1. -
, . - Integral:
- Simplificando:
.
-
-
De
para : -
, , onde varia de 0 a 1. -
, . - Integral:
.
-
Resposta
Somando todas as integrais dos segmentos:
Então, a área do quadrilátero é 2 unidades de área.