Use o Teorema de Green para calcular a área do quadrilátero com vértices nos pontos A = (0,0), B = (1,0), C = (1,3) e D = (0, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um quadrilátero com os vértices nos pontos , , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas, e é muito útil para calcular áreas de formas planas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Para calcular a área da região , podemos escolher funções e de forma que a expressão seja igual a 1. Uma escolha comum é e , pois então:

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o caminho que passa pelos pontos , , , e , voltando ao . Vamos dividir em quatro segmentos:
  1. para
  2. para
  3. para
  4. para
Para cada segmento, vamos expressar e em termos de um parâmetro e calcular as integrais correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular a integral de cada segmento usando e .
  1. De para :
    • , , onde varia de 0 a 1.
    • , .
    • Integral: .
  2. De para :
    • , , onde varia de 0 a 3.
    • , .
    • Integral: .
  3. De para :
    • , , onde varia de 0 a 1.
    • , .
    • Integral:
    • Simplificando: .
  4. De para :
    • , , onde varia de 0 a 1.
    • , .
    • Integral: .

Resposta

Somando todas as integrais dos segmentos:
Então, a área do quadrilátero é 2 unidades de área.

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