Uma superfície cilíndrica é definida por . Com base nessas informações, resolva:
a - Determine o elemento de área da superfície lateral do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície cilíndrica definida por , com e . O conteúdo envolvido aqui é Coordenadas Cilíndricas, que é uma forma de descrever pontos no espaço usando três parâmetros: (distância radial), (ângulo) e (altura). Vamos precisar entender como calcular o elemento de área nessa superfície lateral do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento de área. Em coordenadas cilíndricas, um elemento de área na superfície lateral do cilindro pode ser pensado como um pequeno retângulo que envolve uma variação em e em . Esse retângulo tem lados de comprimento (na direção angular) e (na direção vertical).

Passo 3

Agora, para encontrar o elemento de área vetorial , que é perpendicular à superfície, precisamos multiplicar esses dois comprimentos. Então, temos:
Como estamos falando do vetor área na direção radial ( ), multiplicamos pelo vetor unitário :

Passo 4

Como no nosso caso específico , substituímos esse valor na expressão:

Resposta

O elemento de área vetorial da superfície lateral do cilindro é dado por:

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Considere um ponto representado em coordenadas esféricas por , onde e .
a - Converta as coordenadas esféricas de para coordenadas cartesianas .
Dado um ponto em coordenadas cilíndricas com , determine:
a - As coordenadas cartesianas de e interprete a localização de no sistema de coordenadas cartesiano.
Dado o campo vetorial em coordenadas cilíndricas, calcule o rotacional .
Seja o campo vetorial em coordenadas cilíndricas. Calcule o divergente e verifique se ele é nulo em . Utilize a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas.