Uma superfície cilíndrica é definida por
. Com base nessas informações, resolva:
a - Determine o elemento de área
da superfície lateral do cilindro.
a - Determine o elemento de área
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície cilíndrica definida por
, com
e
. O conteúdo envolvido aqui é Coordenadas Cilíndricas, que é uma forma de descrever pontos no espaço usando três parâmetros:
(distância radial),
(ângulo) e
(altura). Vamos precisar entender como calcular o elemento de área nessa superfície lateral do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento de área. Em coordenadas cilíndricas, um elemento de área na superfície lateral do cilindro pode ser pensado como um pequeno retângulo que envolve uma variação em
e em
. Esse retângulo tem lados de comprimento
(na direção angular) e
(na direção vertical).
Passo 3
Agora, para encontrar o elemento de área vetorial
, que é perpendicular à superfície, precisamos multiplicar esses dois comprimentos. Então, temos:
Como estamos falando do vetor área na direção radial (
), multiplicamos pelo vetor unitário
:
Passo 4
Como no nosso caso específico
, substituímos esse valor na expressão:
Resposta
O elemento de área vetorial da superfície lateral do cilindro é dado por:
Exercícios relacionados
Considere um ponto
representado em coordenadas esféricas por
, onde
e
.
a - Converta as coordenadas esféricas de para coordenadas cartesianas
.
a - Converta as coordenadas esféricas de
Dado um ponto
em coordenadas cilíndricas com
, determine:
a - As coordenadas cartesianas de e interprete a localização de
no sistema de coordenadas cartesiano.
a - As coordenadas cartesianas de
Dado o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas, calcule o rotacional
.
Seja o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas. Calcule o divergente
e verifique se ele é nulo em
. Utilize a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas.