Dado o campo vetorial genérico
, em coordenadas esféricas, pede-se
em
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que temos é sobre cálculo vetorial, especificamente sobre o cálculo do rotacional de um campo vetorial em coordenadas esféricas. O enunciado nos dá um campo vetorial genérico e pede para calcular o rotacional desse campo no ponto específico
. Para resolver isso, precisamos entender como calcular o rotacional em coordenadas esféricas e aplicar as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas
, o rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial . Aqui, temos:
Com isso, podemos simplificar a fórmula do rotacional, já que
e
são zero.
Passo 4
Substituindo os valores dos componentes na fórmula do rotacional, temos:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Observando os cálculos acima, percebemos que os primeiros dois termos do rotacional são zero. Focando no terceiro termo:
Derivando em relação a
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores do ponto específico
na expressão que obtivemos. Aqui,
,
e
.
Calculando :
Então:
Resposta
O rotacional do campo vetorial
no ponto
é: