Dado o campo vetorial genérico A=10 sen theta atheta, em coordenadas esféricas, pede-se nabla times A em (2, pi2, 0)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que temos é sobre cálculo vetorial, especificamente sobre o cálculo do rotacional de um campo vetorial em coordenadas esféricas. O enunciado nos dá um campo vetorial genérico e pede para calcular o rotacional desse campo no ponto específico A=10 sen theta atheta. Para resolver isso, precisamos entender como calcular o rotacional em coordenadas esféricas e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas (r, theta, phi), o rotacional de um campo vetorial A = Ar ar + Atheta atheta + Aphi aphi é dado por:
nabla times A = 1r sin theta [ partialpartial theta (Aphi sin theta) - partial Athetapartial phi ] ar + 1r [ 1sin theta partial Arpartial phi - partialpartial r (r Aphi) ] atheta + 1r [ partialpartial r (r Atheta) - partial Arpartial theta ] aphi

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial . Aqui, temos:
Com isso, podemos simplificar a fórmula do rotacional, já que A=10 sen theta atheta e Ar = 0, Atheta = 10 sen theta, Aphi = 0 são zero.

Passo 4

Substituindo os valores dos componentes na fórmula do rotacional, temos:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Observando os cálculos acima, percebemos que os primeiros dois termos do rotacional são zero. Focando no terceiro termo:
Derivando em relação a 1r [ partialpartial r (r cdot 10 sen theta) ] aphi :
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores do ponto específico (2, pi2, 0) na expressão que obtivemos. Aqui, r = 2, theta = pi2 e phi = 0.
Calculando :
Então:
sen theta

Resposta

O rotacional do campo vetorial A no ponto (2, pi2, 0) é:
nabla times A = 5 aphi

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