Dado o campo vetorial genérico A=5 e^-rho cos phi arho-5 cos phi az, em coordenadas cilíndricas, pede-se nabla times A em (2, 3 pi2, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial definido em coordenadas cilíndricas e precisa encontrar o rotacional desse campo, , no ponto específico . Para isso, vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas e calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas nabla times A = ( 1rho ( partial Azpartial phi - partial Aphipartial z ) ) arho + ( partial Arhopartial z - partial Azpartial rho ) aphi + 1rho ( partial (rho Aphi)partial rho - partial Arhopartial phi ) az . Se , então:
No nosso caso, o campo vetorial é . Aqui, , e .

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional separadamente.
Componente 1rho ( partial Azpartial phi - partial Aphipartial z ) :
partial Azpartial phi = partial (-5 cos phi)partial phi = 5 sin phi
Como 1rho (5 sin phi) = 5 sin phirho , a segunda derivada é zero. Então:
partial Arhopartial z - partial Azpartial rho
Portanto:
partial Azpartial rho = partial (-5 cos phi)partial rho = 0
Componente 0 - 0 = 0 :
1rho ( partial (rho Aphi)partial rho - partial Arhopartial phi )
Como partial Arhopartial phi = partial (5 e^-rho cos phi)partial phi = -5 e^-rho sin phi não depende de 1rho (0 - (-5 e^-rho sin phi)) = 5 e^-rho sin phirho , temos . Agora:
Então, essa componente é:
Componente :
Novamente, , então . Agora:
Portanto:

Resposta

Juntando tudo, o rotacional nabla times A = 5 sin phirho arho + 0 aphi + 5 e^-rho sin phirho az é:
phi = 3pi2 Rightarrow sin phi = sin(3pi2) = -1
Agora, substituindo o ponto rho = 2 :
e^-rho = e^-2
nabla times A = 5 (-1)2 arho + 0 aphi + 5 e^-2 (-1)2 az = -52 arho - 5 e^-22 az
Portanto:

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