Nos Exercícios seguintes, encontre o produto escalar dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles.
$(a) (a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o produto escalar de dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto escalar e usar uma fórmula que relaciona esse produto com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes dos vetores:
u = i - j = (1, -1)
v = i + 2j = (1, 2)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores u cdot v = u1 v1 + u2 v2 e u cdot v = (1)(1) + (-1)(2) = 1 - 2 = -1 . A fórmula para o produto escalar é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Para encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores, precisamos primeiro calcular os módulos (ou comprimentos) de |w| = raizw1^2 + w2^2 e |u| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 . A fórmula para o módulo de um vetor |v| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5 é:
Calculando os módulos:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula que relaciona o produto escalar com o cosseno do ângulo:
cos theta = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores que já encontramos:
cos theta = -1raiz2 cdot raiz5 = -1raiz10 approx -0,316

Resposta

O produto escalar dos vetores é e o cosseno do ângulo entre eles é aproximadamente .

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