Definir Derivada Direcional e Gradiente.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente definir duas coisas importantes: Derivada Direcional e Gradiente. Isso faz parte do cálculo multivariável, que é quando a gente trabalha com funções que dependem de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas se comportam em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a Derivada Direcional. Imagina que você tem uma função que depende de várias variáveis, tipo Duf = nabla f cdot u . A derivada direcional é uma forma de medir como essa função muda quando você se move em uma direção específica no espaço das variáveis. Diferente da derivada comum, que olha apenas para mudanças ao longo de um eixo, a derivada direcional pode olhar para qualquer direção que você quiser.
Matematicamente, se você tem uma direção representada por um vetor unitário , a derivada direcional de na direção de é dada por:
Aqui, é o gradiente de , e o ponto representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Agora, vamos entender o Gradiente. O gradiente de uma função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rápido. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Ou seja:
Esse vetor é super útil porque, além de indicar a direção de maior aumento da função, o seu módulo (ou tamanho) nos dá a taxa máxima de variação dessa função naquele ponto.

Resposta

Resumindo, a Derivada Direcional mede como uma função muda em uma direção específica e é calculada fazendo o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor que define essa direção. Já o Gradiente é um vetor que aponta na direção onde a função aumenta mais rapidamente e suas componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada variável.

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