Dado o campo vetorial genérico :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional (também conhecido como curl) de um campo vetorial dado por:
Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente a operação de rotacional, para resolver isso. Precisamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas. Se temos um campo vetorial:
Então, o rotacional
é dado por:
Passo 3
No nosso caso, o campo vetorial
tem componentes:
-
-
(pois não tem componente em ) -
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Primeiro, calculamos
e
:
Então, a primeira componente do rotacional é:
Passo 5
Agora, calculamos
e
:
-
(já que não depende de ) -
Então, a segunda componente do rotacional é:
Passo 6
Por fim, calculamos
e
:
Então, a terceira componente do rotacional é:
Resposta
Portanto, o rotacional de
é: