Dado o campo vetorial genérico :
A=(y cos b x) ax+(y+e^x) az , calcu<= nabla times A

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional (também conhecido como curl) de um campo vetorial dado por:
A = (y cos(bx)) , ax + (y + e^x) , az
Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente a operação de rotacional, para resolver isso. Precisamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas. Se temos um campo vetorial:
A = Ax , ax + Ay , ay + Az , az
Então, o rotacional nabla times A é dado por:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) ax + ( partial Axpartial z - partial Azpartial x ) ay + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) az

Passo 3

No nosso caso, o campo vetorial A tem componentes:
  • Ax = y cos(bx)
  • Ay = 0 (pois não tem componente em ay)
  • Az = y + e^x
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial Azpartial y e partial Aypartial z:
  • partial Azpartial y = partialpartial y (y + e^x) = 1
  • partial Aypartial z = partialpartial z (0) = 0
Então, a primeira componente do rotacional é:
( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) = 1 - 0 = 1

Passo 5

Agora, calculamos partial Axpartial z e partial Azpartial x:
  • partial Axpartial z = partialpartial z (y cos(bx)) = 0 (já que Ax não depende de z)
  • partial Azpartial x = partialpartial x (y + e^x) = e^x
Então, a segunda componente do rotacional é:
( partial Axpartial z - partial Azpartial x ) = 0 - e^x = -e^x

Passo 6

Por fim, calculamos partial Aypartial x e partial Axpartial y:
  • partial Aypartial x = partialpartial x (0) = 0
  • partial Axpartial y = partialpartial y (y cos(bx)) = cos(bx)
Então, a terceira componente do rotacional é:
( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) = 0 - cos(bx) = -cos(bx)

Resposta

Portanto, o rotacional de A é:
nabla times A = ax - e^x , ay - cos(bx) , az

Exercícios relacionados