Dado A=e^5 x ax+2 cos y ay+2 senz az, calcule nabla cdot A na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! O problema nos dá um campo vetorial A=e^5 x ax+2 cos y ay+2 senz az e pede para calcular a divergência desse campo na origem. A matéria aqui é sobre divergência de um campo vetorial, que basicamente mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da divergência em coordenadas cartesianas e depois avaliar na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da divergência para um campo vetorial A = Ax ax + Ay ay + Az az. A divergência é dada por:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
Isso significa que a divergência é a soma das derivadas parciais de cada componente do campo em relação à sua respectiva variável.

Passo 3

Agora, vamos identificar cada componente do nosso campo A:
  • Ax = e^5x
  • Ay = 2 cos y
  • Az = 2 senz
Precisamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para Ax:
partial Axpartial x = partialpartial x e^5x = 5 e^5x
  1. Para Ay:
partial Aypartial y = partialpartial y 2 cos y = -2 sin y
  1. Para Az:
partial Azpartial z = partialpartial z 2 senz = 2 cos z

Passo 4

Agora, somamos todas essas derivadas parciais para obter a divergência:
nabla cdot A = 5 e^5x - 2 sin y + 2 cos z

Passo 5

Por fim, precisamos avaliar essa expressão na origem, ou seja, quando x = 0, y = 0 e z = 0:
nabla cdot A g|(0,0,0) = 5 e^0 - 2 sin 0 + 2 cos 0 = 5 times 1 - 2 times 0 + 2 times 1 = 5 + 0 + 2 = 7

Resposta

nabla cdot A na origem é igual a 7.

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