Duas pequenas bolas condutoras, de massa 0,25 g cada, pendem do teto por meio de fios isolantes de 50 cm de comprimento. Recebem uma carga que se distribui igualmente entre elas e cada uma assume uma posição na qual os fios formam um ângulo de 45^circ com a vertical. Qual é a carga sobre cada esfera?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e identificar quais conceitos precisamos usar. Temos duas bolas condutoras de massa cada, penduradas por fios de que formam um ângulo de com a vertical quando carregadas com a mesma carga. Precisamos descobrir qual é a carga em cada esfera.
Materiais necessários:
  • Conceitos de estática (equilíbrio de forças)
  • Lei de Coulomb
  • Trigonometria básica

Passo 2

Vamos desenhar um diagrama das forças atuando em uma das bolas. As forças envolvidas são:
  1. Força peso ( ): para baixo, dada por , onde é a massa e é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão no fio ( ): atua ao longo do fio, formando um ângulo de com a vertical.
  3. Força elétrica ( ): repulsiva, horizontal, causada pelas cargas nas bolas.

Passo 3

Como a bola está em equilíbrio, a soma das forças na vertical e na horizontal deve ser zero.
Na vertical:
T cdot cos(45^circ) = P
Na horizontal:
T cdot sin(45^circ) = Fe

Passo 4

Vamos calcular a força peso ( m = 0,25, g = 0,00025, kg ):
g = 9,81, m/s^2
P = m cdot g = 0,00025, kg times 9,81, m/s^2 = 0,00245, N

Passo 5

Usando a equação da força vertical:
T cdot cos(45^circ) = 0,00245, N
Como T = 0,00245, Nraiz22 = 0,00245, N times 2raiz2 = 0,0049, Nraiz2 approx 0,00346, N , temos:

Passo 6

Agora, usamos a equação da força horizontal para encontrar T cdot sin(45^circ) = Fe :
0,00346, N times raiz22 approx 0,00245, N = Fe

Passo 7

A força elétrica entre as duas cargas pode ser calculada pela Lei de Coulomb:
Fe = k cdot q^2d^2
Onde:
  • (constante eletrostática)
  • é a carga em cada esfera
  • é a distância entre as cargas

Passo 8

Vamos encontrar a distância De entre as duas bolas. Cada fio tem comprimento d = 2 times De e forma um ângulo de .
A distância horizontal de cada bola ao ponto de suspensão é:
Então, a distância total entre as bolas é:

Passo 9

Agora, substituímos 0,00245, N = 8,988 times 10^9, q^2(0,7072, m)^2 e q^2 = 0,00245, N times (0,7072, m)^28,988 times 10^9 na Lei de Coulomb para encontrar q^2 = 0,00245 times 0,58,988 times 10^9 :
q^2 = 0,0012258,988 times 10^9
Resolvendo para q^2 approx 1,364 times 10^-13, C^2 :

Passo 10

Finalmente, extraímos a raiz quadrada para encontrar q = raiz1,364 times 10^-13 :
q approx 3,69 times 10^-7, C
q approx 369, nC

Resposta

A carga em cada esfera é aproximadamente .

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