Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz e pede para determinarmos a sua inversa, . Isso cai dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a matriz inversa de uma matriz quadrada, o que envolve encontrar o determinante e a matriz dos cofatores. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz A = 3 & -1 & 2 -1 & 3 & 0 2 & 0 & 0 realmente tem inversa. Isso só é possível se o determinante de for diferente de zero. O determinante é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, incluindo se ela é invertível.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de .
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores aqui.
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) tem inversa, vamos calcular . A fórmula para a matriz inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a adjugada de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores.
Passo 5
A matriz dos cofatores é construída calculando o coforte de cada elemento de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . O cofator A = 3 & -1 & 2 -1 & 3 & 0 2 & 0 & 0 é dado por:
Onde C12 = (-1)^1+2 cdot det -1 & 0 2 & 0 = -1 cdot 0 = 0 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra após remover a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de C13 = (-1)^1+3 cdot det -1 & 3 2 & 0 = 1 cdot (-6) = -6 :