Dado A=(ccc3 & -1 & 2 -1 & 3 & 0 2 & 0 & 0), determine A^-1 R : A^-1=(ccc0 & 0 & 1 / 2 0 & 1 / 3 & 1 / 6 1 / 2 & 1 / 6 & -2 / 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz e pede para determinarmos a sua inversa, . Isso cai dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a matriz inversa de uma matriz quadrada, o que envolve encontrar o determinante e a matriz dos cofatores. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz A = 3 & -1 & 2 -1 & 3 & 0 2 & 0 & 0 realmente tem inversa. Isso só é possível se o determinante de for diferente de zero. O determinante é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, incluindo se ela é invertível.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de .

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores aqui.
det(A) = a11 cdot det a22 & a23 a32 & a33 - a12 cdot det a21 & a23 a31 & a33 + a13 cdot det a21 & a22 a31 & a32
Substituindo os valores de det(A) = 3 cdot det 3 & 0 0 & 0 - (-1) cdot det -1 & 0 2 & 0 + 2 cdot det -1 & 3 2 & 0 :
det 3 & 0 0 & 0 = (3)(0) - (0)(0) = 0
Calculando os determinantes menores:
det -1 & 0 2 & 0 = (-1)(0) - (0)(2) = 0
det -1 & 3 2 & 0 = (-1)(0) - (3)(2) = -6
det(A) = 3 cdot 0 - (-1) cdot 0 + 2 cdot (-6) = 0 + 0 - 12 = -12
Agora, substituindo de volta:
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) tem inversa, vamos calcular . A fórmula para a matriz inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a adjugada de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores.

Passo 5

A matriz dos cofatores é construída calculando o coforte de cada elemento de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . O cofator A = 3 & -1 & 2 -1 & 3 & 0 2 & 0 & 0 é dado por:
C11 = (-1)^1+1 cdot det 3 & 0 0 & 0 = 1 cdot 0 = 0
Onde C12 = (-1)^1+2 cdot det -1 & 0 2 & 0 = -1 cdot 0 = 0 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra após remover a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de C13 = (-1)^1+3 cdot det -1 & 3 2 & 0 = 1 cdot (-6) = -6 :
C21 = (-1)^2+1 cdot det -1 & 2 0 & 0 = -1 cdot 0 = 0
Cofator C22 = (-1)^2+2 cdot det 3 & 2 2 & 0 = 1 cdot (-4) = -4 :
C23 = (-1)^2+3 cdot det 3 & -1 2 & 0 = -1 cdot (0 + 2) = -2
Cofator C31 = (-1)^3+1 cdot det -1 & 2 3 & 0 = 1 cdot (-6) = -6 :
C32 = (-1)^3+2 cdot det 3 & 2 -1 & 0 = -1 cdot (0 + 2) = -2
Cofator C33 = (-1)^3+3 cdot det 3 & -1 -1 & 3 = 1 cdot (9 - 1) = 8 :
Cof(A) = 0 & 0 & -6 0 & -4 & -2 -6 & -2 & 8
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Agora, a matriz dos cofatores é:

Passo 6

A próxima etapa é encontrar a adjugada de adj(A) = Cof(A)^T = 0 & 0 & -6 0 & -4 & -2 -6 & -2 & 8 ^T = 0 & 0 & -6 0 & -4 & -2 -6 & -2 & 8 , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Transpondo a matriz dos cofatores:
No caso, a matriz dos cofatores é simétrica, então a adjugada é igual à matriz dos cofatores transposta.

Passo 7

Finalmente, usamos a fórmula para a matriz inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Sabemos que 0 & 0 & -6 0 & -4 & -2 -6 & -2 & 8 e A^-1 = 1-12 cdot 0 & 0 & -6 0 & -4 & -2 -6 & -2 & 8 = 0 & 0 & -6-12 0 & -4-12 & -2-12 -6-12 & -2-12 & 8-12 .
Então:
A^-1 = 0 & 0 & 12 0 & 13 & 16 12 & 16 & -23
Simplificando as frações:

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = 0 & 0 & dfrac12 0 & dfrac13 & dfrac16 dfrac12 & dfrac16 & -dfrac23 é:

Exercícios relacionados