Dado , determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz e pede para determinarmos a sua inversa, . Isso cai dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a matriz inversa de uma matriz quadrada, o que envolve encontrar o determinante e a matriz dos cofatores. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz realmente tem inversa. Isso só é possível se o determinante de for diferente de zero. O determinante é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, incluindo se ela é invertível.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de .

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores aqui.
Substituindo os valores de :
Calculando os determinantes menores:
Agora, substituindo de volta:
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que tem inversa, vamos calcular . A fórmula para a matriz inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a adjugada de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores.

Passo 5

A matriz dos cofatores é construída calculando o coforte de cada elemento de . O cofator é dado por:
Onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra após remover a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Agora, a matriz dos cofatores é:

Passo 6

A próxima etapa é encontrar a adjugada de , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Transpondo a matriz dos cofatores:
No caso, a matriz dos cofatores é simétrica, então a adjugada é igual à matriz dos cofatores transposta.

Passo 7

Finalmente, usamos a fórmula para a matriz inversa:
Sabemos que e .
Então:
Simplificando as frações:

Resposta

A matriz inversa de é:

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Determine , tal que .
Dados e , resolva o sistema:
, calcule:
Calcule, caso exista, :