Resolva as equações diferenciais parciais
partial^3 tpartial x partial y partial z=x y z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial parcial:
partial^3 tpartial x partial y partial z = x y z
Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas parciais de terceira ordem. Para resolver, vamos integrar essa equação passo a passo em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação com relação a integral partial^3 tpartial x partial y partial z , dx = integral x y z , dx . Quando integramos uma derivada parcial em relação a uma variável, tratamos as outras variáveis como constantes.
partial^2 tpartial y partial z = 12x^2 y z + C(y, z)
Isso nos dá:
Aqui, é uma função de integração que pode depender de e , já que integramos em relação a .

Passo 3

Agora, vamos integrar a equação resultante com relação a integral partial^2 tpartial y partial z , dy = integral ( 12x^2 y z + C(y, z) ) dy :
partial tpartial z = 14x^2 y^2 z + integral C(y, z) , dy + D(z)
Isso nos dá:
Aqui, é outra função de integra��ão que pode depender de .

Passo 4

Por fim, vamos integrar a última equação com relação a integral partial tpartial z , dz = integral ( 14x^2 y^2 z + integral C(y, z) , dy + D(z) ) dz :
t(x, y, z) = 18x^2 y^2 z^2 + integral ( integral C(y, z) , dy ) dz + integral D(z) , dz + E(x, y)
Isso nos dá:
Aqui, é a função de integração final que pode depender de e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
t(x, y, z) = 18x^2 y^2 z^2 + F(x, y, z)
onde representa funções arbitrárias resultantes das integrações realizadas.

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