Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Sugestão: chame
e siga os passos do último exemplo apresentado no texto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial que envolve as derivadas de uma função
em relação a
e
. O objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar dividir a função
em partes que dependem só de
e só de
, mais uma parte que depende de ambos. Isso vai facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na equação original:
Então, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
- A segunda derivada de
em relação a :
- A primeira derivada de
em relação a :
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, queremos que os termos que dependem apenas de
e apenas de
se cancelem, deixando a equação homogênea para
. Para isso, escolhemos
e
de forma que:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Podemos ignorar a constante
já que será absorvida na solução geral.
Agora, para
:
Novamente,
e
são constantes que serão incluídas na solução geral.
Passo 6
Com
e
definidos, a equação para
fica:
Essa é uma equação homogênea que podemos resolver usando separação de variáveis. Vamos supor que
.
Passo 7
Substituindo
na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Onde
é uma constante.
Isso nos dá duas equações:
Resolvendo essas equações, obtemos as soluções para
e
, que juntas formam a solução para
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma solução da equação homogênea
, e
,
são constantes arbitrárias.