Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Sugestão: chame e siga os passos do último exemplo apresentado no texto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial que envolve as derivadas de uma função em relação a e . O objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar dividir a função em partes que dependem só de e só de , mais uma parte que depende de ambos. Isso vai facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na equação original:
Então, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
  • A segunda derivada de em relação a :
  • A primeira derivada de em relação a :
Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, queremos que os termos que dependem apenas de e apenas de se cancelem, deixando a equação homogênea para . Para isso, escolhemos e de forma que:

Passo 5

Vamos resolver para :
Podemos ignorar a constante já que será absorvida na solução geral.
Agora, para :
Novamente, e são constantes que serão incluídas na solução geral.

Passo 6

Com e definidos, a equação para fica:
Essa é uma equação homogênea que podemos resolver usando separação de variáveis. Vamos supor que .

Passo 7

Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante.
Isso nos dá duas equações:
Resolvendo essas equações, obtemos as soluções para e , que juntas formam a solução para .

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é uma solução da equação homogênea , e , são constantes arbitrárias.

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Resolva as equações diferenciais parciais
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