Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
partial^2 vpartial z^2-partial vpartial y=cos y+z
Sugestão: chame v(y, z)=u(y, z)+f(y)+g(z) e siga os passos do último exemplo apresentado no texto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial que envolve as derivadas de uma função em relação a e . O objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar dividir a função em partes que dependem só de e só de , mais uma parte que depende de ambos. Isso vai facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir partial^2 vpartial z^2 - partial vpartial y = cos y + z por partial^2 (u + f + g)partial z^2 - partial (u + f + g)partial y = cos y + z na equação original:
Então, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
  • A segunda derivada de partial^2 vpartial z^2 = partial^2 upartial z^2 + d^2 gdz^2 em relação a partial vpartial y = partial upartial y + dfdy :
partial^2 upartial z^2 + d^2 gdz^2 - partial upartial y - dfdy = cos y + z
  • A primeira derivada de em relação a :
Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, queremos que os termos que dependem apenas de -dfdy = cos y e d^2 gdz^2 = z e apenas de se cancelem, deixando a equação homogênea para . Para isso, escolhemos e de forma que:

Passo 5

Vamos resolver para -dfdy = cos y Rightarrow dfdy = -cos y Rightarrow f(y) = -sin y + C :
d^2 gdz^2 = z Rightarrow g(z) = z^36 + A z + B
Podemos ignorar a constante já que será absorvida na solução geral.
Agora, para :
Novamente, e são constantes que serão incluídas na solução geral.

Passo 6

Com partial^2 upartial z^2 - partial upartial y = 0 e definidos, a equação para fica:
Essa é uma equação homogênea que podemos resolver usando separação de variáveis. Vamos supor que .

Passo 7

Substituindo Y d^2 Zdz^2 - Z d Ydy = 0 na equação:
1Z d^2 Zdz^2 = 1Y d Ydy = lambda
Dividindo ambos os lados por d^2 Zdz^2 - lambda Z = 0 e d Ydy - lambda Y = 0 :
Onde é uma constante.
Isso nos dá duas equações:
Resolvendo essas equações, obtemos as soluções para e , que juntas formam a solução para .

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
v(y, z) = u(y, z) - sin y + z^36 + A z + B
Onde é uma solução da equação homogênea , e , são constantes arbitrárias.

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