Uma matriz simétrica e triangular superior é diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que uma matriz que é simétrica e triangular superior é diagonal. Nosso objetivo aqui é mostrar por que isso acontece. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas, matrizes triangulares superiores e matrizes diagonais, e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. Isso quer dizer que os elementos
e
são iguais para todos
e
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Em outras palavras, para todos
, temos
.
Passo 4
Por último, uma matriz diagonal é uma matriz triangular superior (e também triangular inferior) onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja,
para todo
.
Passo 5
Então, vamos juntar essas informações. Se temos uma matriz que é simétrica e triangular superior, ela também tem que ser triangular inferior (porque simetria implica que
). Mas uma matriz que é simultaneamente triangular superior e inferior só pode ter elementos não nulos na diagonal principal.
Passo 6
Vamos formalizar isso. Seja
uma matriz simétrica e triangular superior. Como
é triangular superior,
para
. Mas
é simétrica, então
para
. Portanto, todos os elementos fora da diagonal principal são zero, o que significa que
é diagonal.
Resposta
Portanto, uma matriz que é simétrica e triangular superior deve necessariamente ser diagonal.
Exercícios relacionados
Todas as entradas de uma matriz simétrica são determinadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima dela.
Sejam
vetores linearmente independentes. Dado
0 , prove que o conjunto de dois elementos
é uma base do subespaço gerado pelos vetores
Em cada parte, expresse a equação matricial como um sistema de equações lineares.
Dado o conjunto finito
, obtenha uma base para o espaço vetorial
.