Uma matriz simétrica e triangular superior é diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que uma matriz que é simétrica e triangular superior é diagonal. Nosso objetivo aqui é mostrar por que isso acontece. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas, matrizes triangulares superiores e matrizes diagonais, e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso quer dizer que os elementos e são iguais para todos e .

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Em outras palavras, para todos , temos .

Passo 4

Por último, uma matriz diagonal é uma matriz triangular superior (e também triangular inferior) onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, para todo .

Passo 5

Então, vamos juntar essas informações. Se temos uma matriz que é simétrica e triangular superior, ela também tem que ser triangular inferior (porque simetria implica que ). Mas uma matriz que é simultaneamente triangular superior e inferior só pode ter elementos não nulos na diagonal principal.

Passo 6

Vamos formalizar isso. Seja uma matriz simétrica e triangular superior. Como é triangular superior, para . Mas é simétrica, então para . Portanto, todos os elementos fora da diagonal principal são zero, o que significa que é diagonal.

Resposta

Portanto, uma matriz que é simétrica e triangular superior deve necessariamente ser diagonal.

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