Mostrar que as matrizes
e
formam uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que quatro matrizes específicas formam uma base para o conjunto de todas as matrizes
, que a gente chama de
. Uma base é tipo um conjunto de blocos de construção: se a gente tem uma base, dá pra construir qualquer elemento do espaço usando combinações dessas bases. Para isso, precisamos verificar duas coisas principais: dimensão e independência linear. Vamos precisar entender o que é uma base, como verificar a independência linear e aplicar isso nas matrizes que a gente tem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é
. Esse é o conjunto de todas as matrizes com 2 linhas e 2 colunas. Cada matriz nesse conjunto tem 4 componentes, então o espaço
é de dimensão 4. Isso significa que uma base para esse espaço deve ter exatamente 4 matrizes que são linearmente independentes. Ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação das outras.
Passo 3
Agora, vamos listar as matrizes que a gente tem:
Nosso objetivo é mostrar que
,
,
e
são linearmente independentes.
Passo 4
Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação dessas matrizes que dá a matriz zero, e mostrar que os coeficientes dessa combinação devem ser todos zero. Ou seja, queremos resolver a equação:
onde
,
,
, e
são números reais que precisamos encontrar.
Passo 5
Vamos escrever a combinação linear explicitamente:
Agora, vamos somar as matrizes componente por componente:
[
]
Passo 6
Isso nos dá um sistema de equações:
-
(da posição [1,1]) -
(da posição [1,2]) -
(da posição [2,1]) -
(da posição [2,2])
Vamos resolver esse sistema para encontrar
,
,
, e
.
Passo 7
Primeiro, da equação 1:
, podemos expressar
em função de
:
Agora, substituímos
nas demais equações.
Passo 8
Substituindo
na equação 3:
Agora, temos:
Subtraindo a equação 2 da equação 3:
Passo 9
Com
, voltamos à equação 2:
E na equação 4, substituindo
e
:
Passo 10
Com
, encontramos:
Então, a única solução para a combinação linear ser zero é
.
Resposta
As matrizes
,
,
e
são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de
.