Mostrar que as matrizes [cc3 & 6 3 & -6] cdot[cc0 & -1 -1 & 0] cdot[cc0 & -8 -12 & -4] e [cc1 & 0 -1 & 2] formam uma base de M2 times 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que quatro matrizes específicas formam uma base para o conjunto de todas as matrizes , que a gente chama de . Uma base é tipo um conjunto de blocos de construção: se a gente tem uma base, dá pra construir qualquer elemento do espaço usando combinações dessas bases. Para isso, precisamos verificar duas coisas principais: dimensão e independência linear. Vamos precisar entender o que é uma base, como verificar a independência linear e aplicar isso nas matrizes que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é . Esse é o conjunto de todas as matrizes com 2 linhas e 2 colunas. Cada matriz nesse conjunto tem 4 componentes, então o espaço é de dimensão 4. Isso significa que uma base para esse espaço deve ter exatamente 4 matrizes que são linearmente independentes. Ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação das outras.

Passo 3

Agora, vamos listar as matrizes que a gente tem:
A = 3 & 6 3 & -6 , B = 0 & -1 -1 & 0 , C = 0 & -8 -12 & -4 , D = 1 & 0 -1 & 2
Nosso objetivo é mostrar que , , e são linearmente independentes.

Passo 4

Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação dessas matrizes que dá a matriz zero, e mostrar que os coeficientes dessa combinação devem ser todos zero. Ou seja, queremos resolver a equação:
xA + yB + zC + wD = 0 & 0 0 & 0
onde , , , e são números reais que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos escrever a combinação linear explicitamente:
x 3 & 6 3 & -6 + y 0 & -1 -1 & 0 + z 0 & -8 -12 & -4 + w 1 & 0 -1 & 2 = 0 & 0 0 & 0
Agora, vamos somar as matrizes componente por componente:

[
3x + 0y + 0z + 1w & 6x - y - 8z + 0w 3x - y - 12z -1w & -6x + 0y -4z + 2w = 0 & 0 0 & 0


]

Passo 6

Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (da posição [1,1])
  2. (da posição [1,2])
  3. (da posição [2,1])
  4. (da posição [2,2])
Vamos resolver esse sistema para encontrar , , , e .

Passo 7

Primeiro, da equação 1: w = -3x , podemos expressar em função de :
Agora, substituímos nas demais equações.

Passo 8

Substituindo 3x - y - 12z - (-3x) = 0 implies 3x - y - 12z + 3x = 0 implies 6x - y - 12z = 0 na equação 3:
(6x - y - 12z) - (6x - y - 8z) = 0 implies -4z = 0 implies z = 0
Agora, temos:
Subtraindo a equação 2 da equação 3:

Passo 9

Com 6x - y = 0 implies y = 6x , voltamos à equação 2:
-6x - 0 + 2(-3x) = 0 implies -6x -6x = 0 implies -12x = 0 implies x = 0
E na equação 4, substituindo e :

Passo 10

Com w = -3x = 0, y = 6x = 0, z = 0 , encontramos:
Então, a única solução para a combinação linear ser zero é .

Resposta

As matrizes , , e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

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